Пример: Теория линейного порядка

Сигнатура этой теории первого порядка состоит всего из одного символа – бинарной предикатной константы P. Мы будем писать атомарную формулу P(t1, t2) как t1 Ј t2. Аксиомы теории являются универсальным замыканием следующих формул:

1. x Ј x.
2. (x Ј y & y Ј z) Й x Ј z.
3. (x Ј y & y Ј x) Й x = y.
4. x Ј y Ъ y Ј x.

Для любых термов t1 и t2, t1 < t2 обозначает t1 Ј t2 & t1 № t2.

3.31 Найдите доказательство замкнутой формулы

" xyz((x Ј y & y < z) Й x < z) в теории линейного порядка.

3.32 Покажите, что теория линейного порядка имеет

• модель, пространство которой состоит из одного элемента,
• модель, пространство которой содержит более чем один элемент.

Непротиворечивая теория первого порядка G полна, если для каждой замкнутой формулы F либо F или ¬F является теоремой G.

3.33 Определите, является ли теория линейного порядка полной. см. Указания

---

Назад