Свойства операций и отношений
Здесь мы приведём список часто упоминающихся свойств бинарных
отношений и операций на множестве
A.
Свойства отношений
Рефлексивность. Отношение r рефлексивно,
если (x,x) О r для любого x О A. *Иррефлексивность. Отношение r иррефлексивно,
если (x,x) П r для любого x О A. *Симметричность. Отношение r симметрично,
если (y,x) О r для любых x,y О A, таких что (x,y) О r. *Антисимметричность. Отношение r антисимметрично,
если (y,x) П r для любых x,y О A, таких что (x,y) О r. *Транзитивность. Отношение r транзитивно,
если (x,z) О r для любых x,y,z О A, таких что (x,y),(y,z) О r. *Отношение эквивалентности. Если отношение
рефлексивно, симметрично и транзитивно, его называют
отношением эквивалентности.
Отношение порядка. Если отношение
рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, его называют
отношением порядка.
Отношение, в котором
находятся любые два элемента множества A совпадает с
декартовым квадратом множества A.
Свойства операций
Идемпотентность. Операция * идемпотентна,
если x * x = x для любого x О A. *Коммутативность. Операция * коммутативна,
если x * y = y * x для любых x,y О A. *Антикоммутативность. Операция * антикоммутативна,
если x * y № y * x для любых x,y О A. *Ассоциативность. Операция * ассоциативна,
если x * (y * z) = (x * y) * z для любых x,y,z О A. *Дистрибутивность. Операция * дистрибутивна
относительно операции °,
если x ° (y * z) = (x ° y) * (x ° z) для любых x,y,z О A. *Взаимно обратные операции. Операции * и ° называют
взаимно обратными,
если x * y = z тогда и только тогда, когда z ° y = x
для любых x,y,z О A. *Нейтральный элемент. При операцию * говорят, что она
имеет нейтральный элемент,
если во множестве A существует элемент (обозначим его e), такой что
x * e = x для любого x О A. *
Если рассматриваемая операция обозначается знаком +, то нейтральный элемент
обычно называют нулём, если знаком · (умножить), то –
единицей.
Обратный элемент. При операцию * с нейтральным элементом
e говорят, что для неё элемент x О A имеет обратный элемент,
если для него
во множестве A можно найти элемент (обозначим его x'), такой что
x * x' = e. *
Если для всех элементов существуют обратные, то операцию называют
обратимой.
Если некоторое свойство не выполняется (то есть для некоторых элементов
условие нарушается), то к названию свойства добавляют ``не''. Так, если
говорят о нерефлексивном отношении, это означает, что есть элемент, для
которого нарушается свойство рефлексивности.
Назад
