Вспомогательные материалы:

Задачи к части I.

1. Является ли операция алгебраической ? ^*
   1. операция / (деления) на множестве рациональных чисел,
   2. операция / (деления) на множестве целых чисел,
   3. операция - (вычитания) на множестве целых чисел,
   4. операция - (вычитания) на множестве натуральных чисел,
   5. операция извлечения корня на множестве вещественных чисел,
   6. операция извлечения корня на множестве вещественных чисел больших 1,
   7. операция извлечения корня на множестве вещественных чисел больших 2.
   см. Ответы
2. При каких p <{1, 2, ..., p}; (· mod (p+1)) > является алгебраической системой.^* см. Ответы
3. Доказать, что алгебраические системы изоморфны:
   1. <N;; Ј > и <N \ { 1 } ;; Ј >.
   2. <{0, 2, ..., 2· n, ...}; +; Ј > и <{0, 3, ..., 3· n, ...}; +; Ј >.
4. Доказать, что алгебраические системы не изоморфны:
   1. <N; + > и <Z; + >;
   2. <N; +; Ј > и <N; -; Ј >;
   3. <R; + > и <Q; + >;
   4. <Z; (+ mod 3) > и <Z; (· mod 3) >;
   5. <{0, 2, ..., 2· n, ...}; ·; Ј > и <{0, 3, ..., 3· n, ...}; ·; Ј >.
5. Является ли алгебраическая система A подсистемой алгебраической системы B ?
   1. A = B = <N; + >;
   2. A = <N; + >, B = <Z; + >;
   3. A = <N\ {1}; + >, B = <N; + >;
   4. A = <N; · >, B = <N; + >;
   5. A = <N; + >, B = <N\ {1}; + >;
   6. A = <{1, 2, ..., n}; ; <, Ј >, B = <{1, 2, ..., n}; ; <, і >.
   см. Ответы
6. При каких p алгебраическая система <{0, 1, ..., p-1}; (+ mod p); Ј > изоморфна алгебраической системе^*
   1. <{1, 2, ..., p}; (· mod (p+1)); Ј >,
   2. <{1, 2, ..., p}; ((· mod p)+1); Ј >.
   см. Ответы
7. Проверить, изоморфны или нет алгебраические системы:
   1. <Z; + > и <Z; - >;
   2. <Z; +; Ј > и <Z; +; і >;
   3. <Z; -; Ј > и <Z; -; і >;
   4. <Z; ·; Ј > и <Z; ·; і >.
   см. Ответы
8. Существует ли гомоморфизм алгебраической системы A в алгебраическую систему B ?
   1. A = <N; + >, B = <N; · >;
   2. A = <N; + >2 (множемтво пар натуральных чисел с покоординатным сложением), B = <N; · >;
   3. A = <N; · >, B = <N; + >;
   4. A = <N; + >, B = <N\ {1}; · >;
   5. A = <{1, 2, ..., n}; ; <, Ј >, B = <{1, 2, ..., n}; ; <, і >;
   6. A = <{1, 2, ..., n}; ; <, Ј >, B = <{1, 2, ..., n}; ; Ј, і >.
   см. Ответы
9. Найти количество изоморфизмов алгебраической системы <R; +; Ј > на <R₊\ {0}; · ; Ј >. см. Ответы
10. Найти количество гомоморфизмов
    1. алгебры <Z; + > в себя;
    2. модели <{1, 2, ..., n}; Ј > в <{1, 2, ..., n}; і >.
    см. Ответы
11. Найти количество автоморфизмов модели
    1. <{1,2,3,4,5,6}; r>, где r – отношение взаимной непростоты;
    2. <{1, 2, ..., n}; № >.
    см. Ответы
12. Найти количество автоморфизмов алгебры
    1. <N; + >;
    2. <N; · >;
    3. <N; + >2;
    4. <{0, 1, ..., p-1}; (+ mod p) >, где p - простое число;
    5. <{0, 1, ..., 5}; (+ mod 6) >.
    см. Ответы

---

Назад