Решение

Мощности множеств Q и Z равны. Значит существуют биективные отображения из Q на Z. Вопрос в том, можно ли найти такое биективное отображение, которое сохраняло бы операцию +. Многие свойства операций + в <Q; + > и в <Z; + > совпадают. Действительно, они обе коммутативны, ассоциативны, имеют нейтральный элемент и т.д. Однако свойства операции + в <Z; + >, связанные с 1, не выполняются в <Q; + >. Это даёт возможность доказать отсутствие изоморфизма.

Предположим, что изоморфизм j алгебры <Q; + > на <Z; + > существует. Пусть p/q – прообраз 1 при отображении j (т.е. j(p/q)=1). Пусть j(p/2q)=n. Но так как j – изоморфизм, то j(p/2q+p/2q) = j(p/2q)+j(p/2q). Получаем, что 1 = n + n, где n – некоторое целое число. Но как известно, таких целых чисел нет. Приходим к противоречию, что и доказывает отсутствие изоморфизма.