Решение

Докажем часть ``тогда''. Известно, что не существует ни одного другого подграфа графа G, для которого H являлся бы остовным подграфом. Надо доказать, что подграф H графа G является порождённым множеством своих вершин.

Предположим, что это не так, т.е. подграф H не порождён множеством своих вершин. Это значит, что в графе G существует ребро, соединяющее вершины подграфа H не принадлежащее подграфу H. Добавив это ребро в подграф H, получим подграф H', содержащий те же вершины, что и H. Таким образом, H является остовным подграфом графа H'. Получили противоречие, что и доказывает часть ``тогда''.

Докажем часть ``только тогда''. Известно, что подграф H графа G является порождённым множеством своих вершин. Надо доказать, что не существует ни одного другого подграфа графа G, для которого H являлся бы остовным подграфом.

Пусть это не так. Т.е. существует подграф H' (не совпадающий с H) графа G, такой что H является остовным подграфом графа H'. Так как вершины H' и H совпадают, эти графы могут отличаться только рёбрами. Значит, существует ребро, соединяющее вершины подграфа H, но не входящее в H. Пришли к противоречию с тем, что H является подграфом, порождённым множеством своих вершин. Это доказывает часть ``только тогда''.