1.2  Классические системы

         К сожалению, по сложившейся традиции в курсе классической механики, который изучается в университете, совершенно недостаточно внимания уделяется неинтегрируемым системам, представляющим для нас наибольший интерес. По этой причине придётся сделать небольшой экскурс в механику классических систем.

Как известно, система динамических уравнений Ньютона

называется полностью интегрируемой, если существует каноническое преобразование переменных q_i, p_i , в результате которого можно перейти от обобщенных координат q_i и обобщенных импульсов p_i к переменным J_i, a_i (действие-угол), в терминах которых система уравнений (1) записывается в виде [1]

В уравнениях (1) и (2) H - функция Гамильтона системы. Особая роль переменных действие-угол состоит в том, что в этих переменных функция Гамильтона зависит только от интегралов движения J_i и не зависит от углов a_i. Очевидно, что если такие переменные удается найти, то система уравнений (2) легко интегрируется:

По этой причине, с позиции теории канонических преобразований, основной задачей механики является отыскание подходящего канонического преобразования, приводящего систему к виду (2). Более того, наши интуитивные представления о поведении механических систем также относятся исключительно к интегрируемым системам.

Между тем число систем, которые являются интегрируемыми, чрезвычайно невелико. К ним, безусловно, относятся системы с одной степенью свободы и приводящиеся к ним ( например, не взаимодействующие между собой частицы или совокупность гармонических осцилляторов, взаимодействующих между собой по гармоническому закону) несколько частных случаев систем с двумя и тремя степенями свободы. На этом перечень интегрируемых систем заканчивается. Все остальные системы не интегрируемы, и их поведение может сильно отличаться от привычных для нас интегрируемых систем. Детерминированность, возможность динамического описания, обратимость во времени - все это, строго говоря, относится только к интегрируемым системам.

Простейшей системой, которая позволит нам рассмотреть различия в поведении интегрируемых и неинтегрируемых систем, является совокупность двух гармонических осцилляторов, взаимодействующих между собой не по гармоническому закону. Эта система описывается гамильтонианом Эно-Эйлеса [2]:

В выражении (4) p₁, q₁,w₁ и p₂, q₂,w₂ - импульс, координата и собственная частота колебаний первого и второго осцилляторов соответственно. Масса частиц предполагается одинаковой. Если параметр V в уравнении (4) равен нулю, то мы получаем интегрируемую систему уравнений движения, если же V = 1, система уравнений является неинтегрируемой в указанном выше смысле и её решение может быть получено лишь c использованием численных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Прежде чем переходить к непосредственному анализу динамики системы с гамильтонианом (4), напомним читателю некоторые важные результаты классической механики, относящиеся к гамильтоновым системам (см. [3]).

Будем задавать состояние механической системы в данный момент времени положением фазовой точки в фазовом пространстве 6N переменных q_i, p_i, i = 1,2,ј,3N. В этом случае эволюция системы наглядно может быть представлена траекторией фазовой точки в фазовом пространстве. Рассмотрим некоторую малую область A фазового пространства. Уравнения динамики Ньютона (1) задают однопараметрическую группу преобразований фазового пространства G^t, переводящую фазовую точку ( q(0),  p(0)) в новое положение ( q(t),  p(t)). Это преобразование обычно называют фазовым потоком. В результате действия преобразования G^t фазовые точки, принадлежащие области A, в момент времени t переходят в некоторую область A^t, причем G^tА = A^t.

Согласно теореме Лиувилля [3], для консервативных систем фазовый поток сохраняет фазовый объем. Иначе говоря, объём области A равен объёму области A^t. На основании этой теоремы Пуанкаре сформулировал парадоксальное на первый взгляд утверждение.

Если фазовая точка системы находится в произвольно малой области фазового пространства U, то в процессе эволюции она сколько угодно раз вновь может оказаться в этой области U. Это утверждение, известное как теорема о возвратах Пуанкаре, по сути говорит, что любая система в ходе эволюции должна через какое-то время вновь вернуться в исходное состояние. Доказательство теоремы Пуанкаре может быть легко получено.

Рассмотрим образы фазовой области U через равные интервалы времени t, то есть в моменты времени t, t+t, t+2t,ј,t+nt . Фазовый поток будет преобразовывать область U в момент времени t+nt в область G^t+ntU = Uⁿ. Поскольку объёмы областей U^t, U¹,U²,ј,Uⁿ согласно теореме Лиувилля равны между собой, то рано или поздно объёмы Uⁿ и U^m перекроются, если фазовый объем системы не равен бесконечности. На рис. 1 схематически изображена эволюция фазовой области U и показано перекрытие этих областей в некоторый момент времени. Возникающие в процессе эволюции образы области U могут иметь различную форму, но сохраняют свой объём. Несмотря на кажущееся противоречие теоремы Пуанкаре здравому смыслу, может существовать несколько различных объяснений парадокса о возврате механической системы в исходное состояние.

Рис.1. К доказательству теоремы   о возвратах Пуанкаре

Одно из возможных объяснений сводится просто к оценке времени возврата. Учитывая огромное число возможных состояний, которое порядка 6N!, и конечную скорость изменения фазовых переменных, легко получить оценку, согласно которой время возврата системы значительно превышает время существования Галактики.

Это объяснение было исторически первым, но, как мы увидим в дальнейшем, есть и другие причины того, что     для наблюдаемых нами систем теорема Пуанкаре о         возвратах не выполняется. Вернемся теперь снова к вопросу о поведении интегрируемых и неинтегрируемых систем и рассмотрим его с позиций эволюции малой области фазового пространства системы. Можно выделить три типичных сценария эволюции фазовой точки ( для простоты мы говорим не о малой окрестности точки в фазовом пространстве, а о самой точке).

     В первом случае фазовая траектория является замкнутой линией и система совершает периодическое движение. Примером такой системы является совокупность двух невзаимодействующих гармонических осцилляторов с кратным отношением собственных частот колебаний w₁ и w₂.

    Её гамильтониан можно получить, если в выражении (4)считать V = 0, а отношение частот принять равным некоторому рациональному числу. На рис.2. изображена поверхность постоянной энергии этой системы, которая является тором в пространстве переменных p₁, q₁, q₂, а фазовая траектория представляет собой замкнутую линию, навитую на тор. Для такой системы возможно динамическое описание. Статистическое описание вводить не целесообразно.
          Рассмотрим теперь случай, когда отношение частот осцилляторов не сводится к рациональному числу (w₁ и w₂ не соизмеримы). В этом случае фазовая траектория является незамкнутой линией, которая полностью покрывает тор. Именно это обстоятельство позволяет ввести статистическое описание системы.

Рис.2. Поверхность постоян ной энергии для системы двух осцилляторов

 

    Определим функцию r(p, q), задающую плотность вероятности обнаружить фазовую точку системы в бесконечно малом элементе объёма dpdq в окрестности точки, положение которой в фазовом пространстве задается совокупностью величин p,q. Для этого в фазовом пространстве системы выделим элемент объёма dp,dq и будем отмечать долю времени t, в течениe которого фазовая точка находится внутри объёма dpdq. Для упрощения обозначений совокупность величин p_i,q_i,i = 1,2,ј, N мы заменили буквами p и q соответственно. Очевидно, что предел отношения

где t-время наблюдения за системой, задаёт вероятность обнаружить фазовую точку системы внутри объёма dpdq. Из определения плотности вероятности следует, что она нормирована на единицу:

В выражении (6) интегрирование ведется по изоинергетической поверхности W H(p,q) = const. В дальнейшем введенную таким образом величину r(p,q) будем называть статистическим оператором системы.

Если статистический оператор r( p, q) уже известен, то среднее значение любой физической переменной f(p,q) может быть найдено как математическое ожидание величины f(p,q):

где интегрирование ведется по доступной для системы области фазового пространства (поверхности постоянной энергии). Если система, кроме энергии, имеет ещё К интегралов движения, то размерность гиперповерхности, по которой производится интегрирование, будет равна 6N-K-1.

С другой стороны, среднее значение величины f(p(t), q(t)) может быть получено усреднением её по времени:

Полученная в результате усреднения по формуле (7) величина бf(p,q)с может быть названа статистическим средним, а величина `f, вычисленная по формуле (8), - динамическим средним.

Представляется уместным подчеркнуть, что статистическая механика равновесных систем строится на весьма грубом упрощении формулы (7) для среднего по фазовому пространству. Краеугольным камнем статистической механики Гиббса является гипотеза, что величина r( p, q) = const, если p и q принадлежат изоэнергетической поверхности W. Причины удивительного успеха столь грубого приближения кроются в особенности динамики гамильтоновых систем, и мы вернемся к этой проблеме позднее.

Обычно предполагается, что статистическое и динамическое средние равны. С учетом постоянства r( p, q) на изоэнергетической поверхности и условия нормировки (6) имеем

Это утверждение носит название эргодической гипотезы. Её справедливость не поддаётся строгому доказательству, но следствием эргодической гипотезы является возможность построить термодинамическое описание равновесных систем, которое хорошо согласуется с опытом.

Итак, если динамическая система устроена таким образом, что в ходе эволюции за достаточно большое время фазовая траектория покрывает всю изоэнергетическую поверхность, то возможно статистическое описание системы с использованием статистического оператора r(p,q). Существенное упрощение в описании возникает тогда, когда можно считать, что r(p,q) = const на всей гиперповерхности постоянной энергии.

Перейдем теперь к рассмотрению еще одной возможной ситуации и примем в гамильтониане (4) w₁ = w₂ и V = 1. Гамильтонова система уравнений движения при этом перестает быть интегрируемой, и поведение фазовой траектории совершенно меняется. Теперь изоэнергетическая поверхность системы в фазовом пространстве уже не является тором. На рис. 3 изображена фазовая траектория системы, полученная в результате численного интегрирования уравнений движения. Получающаяся траектория напоминает запутанный клубок ниток и совсем не напоминает регулярное движение фазовой точки по поверхности тора в предыдущем случае.

Рис.3. Фазовая траектория системы при w₁ = w₂ и V = 1

В таких случаях проще наблюдать за фазовой траекторией, используя сечение фазового пространства некоторой плоскостью ( q₂ = 0 на рис. 4.) и отмечая точки, в которых фазовая траектория протыкает эту плоскость, двигаясь вдоль положительного направления координатной оси ( q₂ в нашем случае), перпендикулярной плоскости сечения. Результат такого машинного вычисления представлен на рис. 4.

Рис. 4. Сечение Пуанкаре системы
 при w₁ = w₂ и V = 1

Строгих аналитических расчетов даже для такой простой модели не существует, а результаты численных экспериментов различных авторов однозначно указывают на то, что в этой модели реализуется стохастическое поведение. Доказательством является то, что если пронумеровать точки, возникающие на дисплее, то последовательность точек с близкими номерами оказывается хаотически разбросанной по всей изоэнергетической поверхности. Ситуация не меняется, если уменьшать временной шаг при интегрировании уравнений движения. Можно сказать, что в этой системе реализуется стохастическое поведение, или так называемый динамический хаос.

       Попробуем понять, как может возникнуть состояние динамического хаоса в системе, описываемой уравнениями Ньютона. Рассмотрим некоторую малую область фазового пространства A. В случае интегрируемых систем фазовый поток фактически просто перемещает область A в новое положение на изоэнергетической поверхности, покрывая её всю со временем. В случае неинтегрируемых систем область A, сохраняя свой объём, расслаивается на тонкие нити и постепенно за некоторое характерное время, которое естественно назвать временем перемешивания, рассредоточивается по всей изоэнергетической поверхности. Количественное определение понятия перемешивания можно дать, используя понятие меры. Назовем отношение объёма области A к объёму фазового пространства, доступному для системы, мерой области A и обозначим m(A). В ходе эволюции объём области A заменяется объёмом A^t. Но объём области A равен объёму A^t, поэтому очевидно m(A) = m(A^t). Выделим некоторую другую произвольную область B и будем считать её неподвижной. Ясно, что из-за перемешивания кусочки области A будут попадать в область B. Перемешивание будет полным, если объём перекрывающихся частей областей A^t и B, отнесенный к объёму B, будет равен относительному объёму области A. На языке понятия меры это условие полного перемешивания можно записать следующим образом:

m(A) = lim t® Ґ m(At З B) m(B) .

(10)

Перемешивание возникает в таких системах, где имеется сильное разбегание двух фазовых точек, находившихся в начальный момент на произвольно близком расстоянии друг от друга. Такие системы называют неустойчивыми. Неустойчивость систем, в свою очередь, приводит к непредсказуемости их поведения. Действительно, если в начальный момент времени положение фазовой точки известно с некоторой точностью, т.е. мы знаем, что она принадлежит некоторой области с характерным размером e, то сказать, где будет фазовая точка через некоторый момент времени, невозможно. Она с конечной вероятностью может оказаться в любой точке изоэнергетической поверхности.

Когда мы говорим о разбегании фазовых точек в системах с перемешиванием, то это достаточно легко себе представить. В этом случае мы анализируем поведение копий систем, различающихся начальными условиями. Разбегание траекторий для таких систем означает их сверхчувствительность к начальным условиям. Но о каком хаосе может идти речь, когда мы решаем систему дифференциальных уравнений для нескольких частиц и анализируем движение одной фазовой точки? Теорема единственности решения из теории дифференциальных уравнений, казалось бы, должна давать строго детерминированное поведение, и в каждый момент времени можно строго вычислить координаты и импульсы всех частиц, составляющих систему. Стохастичность здесь также возникает из-за сверхвысокой чувствительности динамики системы к заданию начальных условий. Не имея возможности анализировать эту проблему в деталях, приведем лишь наглядный пример, демонстрирующий суть проблемы ( говорят, что пример убеждает разумного, а доказательство - упрямого).

Простейшей моделью стохастической системы может служить бильярд Синая. Этот бильярд представляет собой плоский стол, ограниченный стенками. В середине бильярда помещена круглая шайба радиусом R . Другая подвижная шайба меньшим радиусом r запускается с некоторой начальной скоростью v из произвольной точки бильярда. Предполагается, что все удары являются абсолютно упругими. Поскольку, как это изображено на рис.5, результат рассеяния сильно зависит от начального направления скорости и начального положения подвижной шайбы, любое малое изменение начальных условий приведет в конце концов к другой картине движения.

Рис.5. Бильярд Синая

Таким образом, именно сверхвысокая чувствительность к условиям рассеяния приводит к стохастическому поведению системы. При любой конечной точности вычислений через некоторое число актов рассеяния движущейся шайбы на центральном диске поведение частицы уже не будет зависеть от начального положения и начальной скорости частицы. Иначе говоря, система забудет своё начальное состояние, и динамическое описание станет невозможным.

Описать движение такой шайбы можно, лишь вычислив вероятность её обнаружения в любой точке стола. Очевидно, что после некоторого времени, равного времени размешивания, эта вероятность уже не будет зависеть от t, а будет определяться лишь особенностями устройства системы, в частности - геометрическими размерами. Более того, можно утверждать, что движение частицы в бильярде будет необратимым. Действительно, потеря информации о начальных условиях означает возрастание информационной энтропии в изолированной системе, что характерно для необратимого поведения. Критерием, позволяющим различать системы с размешиванием от интегрируемых систем, является возрастание энтропии Колмогорова-Синая. Определить эту энтропию достаточно просто. Пусть динамика системы описывается некоторой системой дифференциальных уравнений и начальными условиями, задающими начальные значения координат и импульсов. Определим в фазовом пространстве этой системы расстояние между двумя фазовыми точками x₁(t) и x₂(t) d(t) = | x₁(t) - x₂(t)|. Энтропией Колмогорова-Синая называется величина h, которая выражается следующей формулой:

h = lim d(0) ® 0 t-1 ln(d(t)/d(0)).

(11)

Из формулы (11) видно, что если динамика системы является периодической или квазипериодической, то h = 0 . Если движение является неустойчивым и траектории разбегаются, то d(t) растет быстрее t и h > 0 . Из этого выражения также следует, что величина h имеет размерность обратной секунды, а величина h^-1 = t играет роль времени размешивания. По истечении времени t фазовые точки, располагавшиеся в некотором малом объеме А фазового пространства, распределятся равномерно по всей изоэнергетической поверхности.

Завершая этот вводный раздел, хотелось бы еще раз обратить внимание читателя на следующие основные моменты.

Возможность, а точнее - необходимость введения статистического описания связана со слабой устойчивостью динамических систем. Можно сказать, что статистическое описание возможно потому, что за любое макроскопическое время измерения динамической величины фазовая точка успеет побывать в огромном числе точек, разбросанных хаотически по всей фазовой поверхности. Поэтому наблюдаемые средние возникают в результате статистического усреднения (7). Этот факт позволяет просто связать динамическое и статистическое описания. Для интегрируемых систем статистическое описание невозможно, поскольку фазовая точка движется по траектории, и если уж и вводить усредненное описание, то усреднение нужно проводить вдоль траектории движения, а не по всему фазовому пространству.

Еще одно замечание касается того, что опять- таки, в силу слабой устойчивости систем с перемешиванием, их динамика через некоторое характерное время, порядка времени размешивания, не зависит от начального состояния системы, а определяется только некоторыми общими особенностями устройства системы. Эти свойства систем с размешиванием будут существенно использоваться при развитии метода операторов проектирования в следующей главе.