1.3  Квантовые системы

Квантовая система может находиться в чистом или смешанном состоянии. Если система находится в чистом состоянии, то она может быть описана волновой функцией Y, которая подчиняется уравнению Шредингера

где H-гамильтониан системы, (^h/_2p)-постоянная Планка. Квантово-механическое среднее оператора некоторой физической величины A в состоянии, описываемом волновой функцией y, определяется выражением бAс = бy|A|yс. Физические величины, получающиеся в результате усреднения, должны быть действительными. Это приводит к тому, что операторы физических величин являются эрмитовыми и удовлетворяют условию A⁺ = A,   

где знак тильды означает транспонирование, а звездочка, как обычно,- комплексное сопряжение элементов матрицы. Описание системы на языке волновых функций является наиболее полным с точки зрения квантовой механики и в каком-то смысле соответствует описанию частиц на языке траекторий в классической механике.

        Определим теперь понятие смешанного состояния в квантовой теории. Рассмотрим систему, которая является частью некоторой большой системы, находящейся в чистом состоянии. Пусть совокупность координат x описывает интересующую нас подсистему, а совокупность q - остальные координаты замкнутой системы. Волновая функция y(q,x) зависит от переменных x и q и не распадается на произведение функций, зависящих только от x и только от q. По этой причине интересующая нас малая система не имеет волновой функции и не может быть описана с максимально допустимой в квантовой механике полнотой.

Вычислим снова среднее значение оператора A, который относится к малой системе и действует только на переменные x. Обобщая результаты, полученные для чистых состояний, очевидно имеем

Введем более удобное для практических приложений определение среднего (13). Определим полный набор собственных функций f_n(x) некоторого оператора, например оператора Гамильтона, для выделенной подсистемы и аналогичный набор q_n(q) - для остальной системы. Тогда очевидно, что волновая функция y(q,x) может быть разложена в ряд

Подставляя этот результат в выражение (13), имеем

Учитывая ортонормированность собственных функций q_i(q) и q_j(q), получаем

Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо заметить, что коэффициенты C_n(j)^* и C_m(j) зависят от переменной j, относящейся к большой системе, и поэтому можно записать

Величина r_nm, введенная выше, носит название матрицы плотности. Используя определение (17), среднее значение оператора A можно записать достаточно просто:

Физический смысл введенной матрицы плотности проще понять, если рассмотреть диагональные матричные элементы

которые можно легко интерпретировать. Действительно, будем считать, что состояние малой системы является смесью чистых состояний, которые нумеруются индексом j. Величина W(j) тогда имеет смысл вероятности реализации состояния j, а a_n^*(j)a_n(j) - вероятности реализации n-го собственного значения для j-го чистого состояния. Величина r_nn = е_jW(j)a_n^*(j)a_n(j) имеет смысл вероятности системе иметь n-е стационарное состояние, которое может реализоваться в любом из возможных чистых состояний системы.

Пусть теперь оператор A, входящий в определение среднего, равен единичному оператору. Среднее значение такого оператора, очевидно, равно единице. Поэтому вместо (18) получаем

Последний результат является очевидным, поскольку диагональный матричный элемент матрицы плотности имеет смысл, как это отмечено выше, вероятности находиться системе в n-м стационарном состоянии. Вероятность находиться в одном из возможных состояний равна единице. Этот факт очевидно следует из уравнения  (20).

Уместно, забегая вперед, сразу привести пример системы, находящейся в контакте с термостатом. Будем считать, что волновые функции f_n(x) являются собственными функциями оператора Гамильтона: Hf_n = E_nf_n, где E_n- собственные значения энергии системы. В этом случае вероятность для системы, находящейся в смешанном состоянии, иметь значение энергии E_n определяется распределением Гиббса:

В квантовой механике чистые и смешанные состояния различаются принципиально. Если система в некоторый момент времени t находилась в чистом состоянии, то в силу линейности уравнения Шредингера она и будет оставаться в чистом состоянии на протяжении всей эволюции. В действительности чистые состояния являются идеализацией и, видимо, не могут быть реализованы, если система взаимодействует со своим окружением.

Интересная взаимосвязь чистых и смешанных состояний возникает в связи с проблемой измерения. Предположим, что мы имеем систему, находящуюся в чистом состоянии с волновой функцией y = е_nC_nU_n, где U_n- собственные функции, например, оператора энергии. Обычное квантово-механическое среднее бA с = е_nmC_n^*C_mтU_n^*(x)AU_m(x) dx для чистого состояния можно записать, используя определение среднего (1.18). Отсюда получаем простое выражение для компонент матрицы плотности системы в чистом состоянии:

Будем производить измерение энергии в ансамбле таких одинаковых систем. Произведя многократное измерение, очевидно получим вероятности P_n нахождения системы со значением энергии E = E_n. Таким образом, в результате измерения сформируется смешанное состояние, которое описывается другой матрицей плотности, не совпадающей с исходной. Это становится особенно ясным, если снова найти среднее значение оператора

Сравнивая два последних результата, видим, что произошла редукция матрицы плотности и она потеряла недиагональные элементы, которые приводят в чистом состоянии к интерференции состояний с разными значениями n . Здесь ситуация полностью аналогична случаю, когда в некоторой точке пространства складываются значения векторов напряженности электрического поля для двух когерентных источников света, в то время как для некогерентных источников складываются квадраты интенсивностей (освещенности) и интерференция пропадает.

Таким образом, в процессе измерения чистое состояние заменилось смешанным и произошла потеря информации о системе. Поскольку потеря информации означает возрастание энтропии, то мы сталкиваемся с ситуацией, когда процесс измерения, как и в классической механике, приводит к возникновению необратимого поведения и возрастанию энтропии. Не имея больше возможности останавливаться на принципиальной, но весьма далекой от решения проблеме измерения в квантовой механике, мы отсылаем читателя к монографии И. Пригожина [4], где можно найти и другие ссылки.

Найдем уравнение движения, которому подчиняется матрица плотности. Для этого продифференцируем по времени выражение (17) :

Для того чтобы найти уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты a_n, вспомним, что волновая функция каждого чистого состояния Y(i) = е_n a_n(i)y_n в смеси удовлетворяет уравнению Шредингера

где y_n - собственные функции некоторого оператора, не зависящие от времени. Выполняя дифференцирование в (24), получаем уравнение для коэффициентов a_n

Умножая это уравнение на y_m^* и интегрируя с учетом ортонормированности собственных функций y_n, получаем

Уравнение для комплексно-сопряженного коэффициента можно записать по аналогии:

Подставляя выражения (26), (27) в уравнение движения матрицы плотности (23) с учетом эрмитовости оператора энергии, получаем

Переходя от матричных обозначений к операторным и используя определение оператора Лиувилля iL,

получаем уравнение Лиувилля для квантовых систем:

Следует обратить внимание на то, что уравнение движения для матрицы плотности отличается знаком от уравнения движения оператора в представлении Гейзенберга:

Уравнение Лиувилля является обратимым во времени, и так же, как и в случае классической механики, его решение давало бы наиболее полное описание системы. Не следует думать, что точное решение уравнения Лиувилля дает правильное описание необратимой динамики макроскопических систем. Проблема выглядит значительно сложнее. В предыдущем разделе мы неоднократно подчеркивали, что для классических систем необратимое поведение связано со слабой их устойчивостью. В случае квантовых систем такой ясности нет, как нет ясности и в понимании других фундаментальных основ квантовой теории. Дальнейшее обсуждение этих проблем выходит за рамки учебного пособия, и мы отсылаем читателя к специальной литературе [4]. Тем не менее в следующем разделе мы снова вернемся к этой проблеме, а в последующих главах обсудим, как из уравнения (30) получить уравнение для некоторой части статистического оператора, описывающее необратимое поведение системы.