1.4  Почему приходится вводить операторы проектирования?

Начиная построение теории необратимых явлений, естественно взять за основу динамическое уравнение Лиувилля (30). В этом случае, однако, сразу встаёт вопрос: каким образом нужно развивать теорию, чтобы в конце получить необратимое поведение системы?

Еще со времен первой основополагающей работы Больцмана хорошо известно, что для неравновесной системы можно найти неубывающую функцию

которая с точностью до множителя, определяющего размерность, совпадает со статистической энтропией системы. В выражении (32) f( p,t)- одночастичная функция распределения,  p- импульс частицы. Величина f( p,t) удовлетворяет уравнению Больцмана. Это уравнение не является динамическим и больше похоже на феноменологическое уравнение диффузии в фазовом пространстве. Можно попробовать обобщить определение (32), используя функционал

где r- статистический оператор, а интегрирование ведется по всей поверхности постоянной энергии (классический случай). Мы будем рассматривать функционал еще более общего вида:

где M(p,q) - некоторая функция достаточно общего вида. Если величина S^ў является неубывающей функцией (функцией Ляпунова), то производная dS^ў/dt і 0. Для вычисления этой производной запишем формальное решение уравнения  (30) в виде

где r(0) - статистический оператор в начальный момет времени (сразу после приготовления ансамбля). Из определений   (30) ,  (31)   следует также, что dr(t)/dt = 0. По этой причине,   дифференцируя  (30)  по времени, имеем

В этом уравнении мы воспользовались определением
d/dtM(p,q) = iLM(p,q) є {M(p,q),H(p,q)}, справедливым для классической механики (роль оператора iL играет скобка Пуассона {A,B}). Введем обозначение iLM(p,q) = D(p,q), где величина D(p,q) может быть просто функцией, или оператором, действующим на переменные p, q. Можно показать, что если D(p,q) является просто функцией переменных p, q, то функцию Ляпунова нельзя определить соотношением (34).

Действительно, рассмотрим частный случай равновесной системы. Тогда r(0) = const, поскольку мы предполагаем, что система эргодична. Если D(p,q) есть функция переменных p, q, то для состояния термодинамического равновесия dS^ў/dt = 0 и из  (34) следует

что в силу произвольности системы сразу приводит нас к заключению, что D(p,q) = 0 и, следовательно, функционал, определенный соотношением (34), не существует, если D(p,q) = iLM(p,q) является обычной функцией переменных p, q.

Из результата (37), полученного Пригожиным [4], следует важный вывод. Если мы хотим построить функцию Ляпунова исходя из первых принципов в классической теории, мы вынуждены будем предположить, что величина M(p,q), входящая в уравнение  (34),  должна быть оператором. Поскольку D(p,q) = iLM(p,q) № 0, то, согласно идеологии, развитой в квантовой теории следует, что энергия системы и величина M(p,q) не могут быть измерены одновременно.

Интерпретировать этот факт можно следующим образом: оставаясь в рамках представлений о траекториях частицы, необратимого поведения системы получить нельзя и функцию Ляпунова построить не удастся. Отказ от понятия траекторий производится так же, как и в квантовой механике,- введением новой операторной величины (в квантовой механике это оператор импульса, в теории необратимых явлений - оператор M(p,q), тесно связанный с оператором микроскопической энтропии).

        В квантовом случае, когда величины H, r(t) сами являются операторами, функцию Ляпунова можно попробовать ввести, обобщив соотношения (33), (34),:

или, в более общем виде,

Совершенно ясно, однако, что первое из приведенных выше соотношений не может быть функцией Ляпунова в силу того, что dr/dt = 0, и поэтому dS^ў/dt = 0.

Что касается выражения (39), то оно может играть роль функции Ляпунова лишь в том случае, если величина M есть некоторый супероператор (т.е. оператор, действующий не на функции, а на операторы). Кроме того, оператор M не должен коммутировать с оператором Гамильтона, и, пожалуй, самое главное, оператор M должен быть не факторизуемым оператором, т.е. он не сохраняет различия между чистыми и смешанными состояниями в квантовой механике.

Напомним, что все другие квантово-механические операторы, действуя на волновую функцию системы в чистом состоянии, оставляют её в чистом состоянии.

Условие нефакторизуемости является менее очевидным и требует некоторых пояснений.

Ясно, что описание системы на языке волновых функций является наиболее полным в квантовой теории, и при таком описании необратимого поведения не возникает. В системах, для которых характерно необратимое поведение, различие между чистыми и смешанными состояниями утрачивается. Это не означает, что уравнение Шредингера перестаёт быть справедливым. В этих системах различия между чистыми и смешанными состояниями перестают быть наблюдаемыми.

Развиваемая точка зрения принадлежит И. Пригожину [4] и интенсивно развивалась им и его сотрудниками в последние годы.

Проведенный выше анализ позволяет заключить, что ни в рамках классической, ни в рамках квантовой механики необратимое поведение ввести не удается, если не сделать существенных дополнительных предположений, выходящих за рамки стандартной классической или квантовой теории. Отсюда, в частности, следует, что непосредственно из динамических уравнений, не внося новых физических идей, необратимое поведение системы получить не удастся. Причина этого состоит не в том, что необратимое поведение систем противоречит динамике, а в том, что динамическое описание является недостаточно развитым и на существующем этапе приспособлено лишь для описания интегрируемых систем в классической механике и систем, находящихся в чистом состоянии в квантовой механике.

Отмеченный результат по существу не является новым. Так или иначе, это осознавали все создатели теории явлений переноса, начиная с Л. Больцмана, вводя свои способы обобщения динамики на случай неинтегрируемых систем. Так, Больцман использовал гипотезу о столкновениях (Stosszahlansatz), согласно которой предполагается, что перед каждым столкновением состояния пары сталкивающихся частиц не являются коррелированными, и они описываются одночастичными функциями распределения.

Несколько иные аргументы использовал Н.Н. Боголюбов при выводе кинетического уравнения Больцмана из системы для s-частичных функций распределения (см. [5], [6]). Основная идея Боголюбова состоит в том, что можно выделить несколько характерных масштабов времени, на которых систему следует описывать с помощью принципиально различных подходов.

Если принять, что частица имеет характерный размер R₀ и характерную скорость v, то на временах t » t_st = R₀/v система может быть описана только динамическим образом.

Следующий временной масштаб связан с временем свободного пробега частицы. Если обозначить среднее расстояние между частицами буквой l >> R₀, то время свободного пробега t = l/v >> t_st. Кинетическая стадия эволюции наступает тогда, когда t Ј t >> t_st. На этих временах, согласно Боголюбову, двухчастичная и все следующие функции распределения являются некоторыми функционалами одночастичной функции распределения. Именно эта идея позволяет замкнуть цепочку уравнений Боголюбова и получить уравнение для одночастичной функции распределения.

Ясно, что подход Боголюбова основан на предположении, что, начиная с некоторого момента времени, точная динамика системы, учитывающая все корреляции, становится несущественной. Эта же идея лежит и в основе гипотезы Больцмана о столкновениях, и по существу это просто попытки учесть специфику динамики неинтегрируемых систем, демонстрирующих неустойчивость.

Начиная с работа Р. Цванцига [7], для получения необратимой динамики широко используется метод операторов проектирования, который позволяет разделить статистический оператор на две ортогональные в некотором смысле части (обсуждение свойств операторов проектирования мы отложим до следующей главы, ограничиваясь пока качественными замечаниями). Для проекции статистического оператора Pr(t), которую Цванциг назвал   релевантной, т.е. имеющей отношение к делу частью, удается получить необратимое во времени уравнение движения, которое обычно называют master equation или, как принято в нашей литературе, - основное кинетическое уравнение. Что касается остатка, т.е. величины (1- P)r(t), то эта величина достаточно быстро осциллирует, и её обычно не учитывают при вычислении средних. Другой подход, основанный на применении операторов проектирования, использовал Мори (см. [8]). Он развил метод построения уравнений движения для операторов физических величин, в котором предполагается, что динамика произвольного оператора должна определяться динамикой некоторого набора базисных операторов. В этом случае для проекции оператора PA(t) удается получить необратимое во времени уравнение движения, которое напоминает уравнение Ланжевена для броуновской частицы.

Не вдаваясь в детали определения и практического использования проекционных операторов, которые будут подробно обсуждаться в следующих главах, отметим лишь явные преимущества построения теории необратимых явлений с использованием методики операторов проектирования. Во- первых, это простота и компактность вывода основных уравнений теории, которую отметил еще Цванциг. Во- вторых, и это является главным, метод операторов проектирования позволяет построить новые динамические уравнения, которые описывают необратимую и негамильтоновую эволюцию динамических величин.

Для возникновения необратимости необходимо найти подходящий механизм, который нарушал бы инвариантность обычного динамического описания относительно обращения времени. Интересующее нас нарушение симметрии должно быть внутренним т.е. не связанным с существованием новых взаимодействий. В то же время этот механизм должен быть универсальным. Иначе говоря, он должен иметь место и в классических, и в квантовых системах.

Такая общая и внутренняя причина нарушения симметрии может иметь место, если в действительности реализуются не все возможные состояния или начальные условия, допустимые при динамическом описании, а лишь некоторый ограниченный набор , обладающий асимметрией требуемого типа. Эта идея, по существу, является новым постулатом теории, который эквивалентен включению второго начала термодинамики в число основных уравнений динамики (см. монографию [4]).

Интересно отметить, что такая формулировка второго начала термодинамики высказывалась еще в 1909 году Ритцем, который считал, что второе начало термодинамики выражает некий принцип, позволяющий исключить некоторые решения динамических уравнений из числа реализуемых.

Последовательное выполнение программы построения теории необратимых процессов как динамической теории, пригодной для описания систем со слабой устойчивостью или внутренне случайных систем, для которых реализуется состояние со спонтанно нарушенной симметрией, проще всего осуществляется именно с использованием методики проекционных операторов, развитой специально для отбора существенных для эволюции состояний.

Можно даже высказать более смелую мысль. Развивая метод операторов проектирования, мы делаем шаг в сторону создания новой динамики, в которой второе начало термодинамики возведено в ранг динамического принципа, отбирающего из всех возможных решений физически реализуемые.