4.2  Кинетическое уравнение Цванцига

        Знакомство с методом основных кинетических уравнений начнем с уравнения Цванцига, полученного им в работе [7]. Хотя непосредственно использовать это уравнение для расчета кинетических коэффициентов не представляется возможным из- за того, что оператор проектирования, использованный Цванцигом для иллюстрации метода, выделяет динамику системы в импульсном пространстве, полностью усредняя движение в координатном пространстве. Тем не менее все основные идеи метода проекционных операторов проследить по этой работе очень легко. Будем исходить из уравнения Лиувилля (30))

для статистического оператора, которое справедливо как в классическом, так и в квантовом случаях. Хотя дальнейшее рассмотрение с одинаковым успехом применимо для классических и квантовых систем, для определенности мы будем иметь в виду квантовый случай.

Введем линейный, не зависящий от времени оператор проектирования P и разделим статистический оператор r(t) на два слагаемых:

        Подействуем операторами P и (1- P) на левую и правую части уравнения Лиувилля (242). В результате получим уравнения

Для того чтобы система уравнений (244), (245) имела однозначное решение, необходимо задать значение статистического оператора в некоторый момент времени. Эта, казалось бы, формальная математическая процедура на самом деле имеет глубокий физический смысл, к обсуждению которого мы вернемся позднее.

      Чтобы получить замкнутое уравнение для `r(t), исключим статистический оператор

из правой части выражения (244). Произведем формальное интегрирование уравнения (245). Проще всего это выполнить следующим образом. Умножим левую и правую части уравнения (245) на оператор exp{i(1- P)Lt} слева и запишем его в виде

           Формальное интегрирование уравнения (246) от некоторого начального момента времени t₀ до интересующего нас времени t дает

       Умножим левую и правую части уравнения (247) слева на оператор exp{-i(1- P)Lt} . Производя небходимые вычисления, получаем

       Подставляя выражение (248) в правую часть формулы (244), получаем уравнение для части статистического оператора [`(r)](t), описывающей необратимую эволюцию системы:

          В выражениях (246), (250) экспоненциальные функции от операторных величин iL и P понимаются как соответствующие степенные ряды. Уравнение (249) все еще не является замкнутым уравнением, так как содержит величину

в начальный момент времени t₀ .

             Теперь уместно вернуться к проблеме задания начального условия для уравнения Лиувилля (242). Задание статистического оператора в некоторый начальный момент времени равносильно заданию ансамбля одинаковых систем, эволюцию которого описывает уравнение Лиувилля, и поэтому очень важно. Более того, выбор начального условия может определить и класс решений уравнения Лиувилля .

         Ясно, что для сколько-нибудь сложной системы нет никакой корректной в математическом смысле процедуры, позволяющей записать это начальное распределение. Конечно, всегда можно в качестве начального условия задать координаты и скорости всех частиц, составляющих систему в классическом случае или волновую функцию системы частиц в квантовом случае, но это будет формальное задание, которым все равно невозможно воспользоваться.

         С другой стороны, как отмечалось в главе 1, для систем внутренне, т.е. по своему устройству, стохастических, начальное распределение ничего по существу не должно определять уже через малый промежуток времени - порядка времени размешивания в системе. Поэтому начальное распределение можно выбрать достаточно произвольно. Этим произволом можно воспользоваться, если выбрать распределение так, чтобы зависимость его от динамических величин определялась медленно изменяющимися переменными ( например, интегралами или квазиинтегралами движения). Смысл этого состоит в том, что обычно конкретный вид проекционного оператора, фигурирующего в теории, и начальное распределение выбираются согласованно, так что оператор проектирования не меняет начального распределения.

       Следуя этим рекомендациям, выберем начальное распределение для уравнения (249) следующим образом:

Тогда основное кинетическое уравнение Цванцига можно записать в виде

Ядро интегрального уравнения (252)

определяет "память"о всех предыдущих состояниях системы (аналог запаздывания в электродинамике). Таким образом, мы получили замкнутое уравнение, описывающее немарковскую и необратимую эволюцию части статистического оператора `r(t). Если определить конкретный вид оператора проектирования и выражение для средних значений операторов физических величин, то уравнения (252), (253) могут быть использованы при вычислении кинетических коэффициентов. В следующих разделах мы рассмотрим более интересные с практической точки зрения приложения методики операторов проектирования, в частности, получим основное кинетическое уравнение для квазиравновесного распределения и покажем, как с помощью него получить выражение для кинетических коэффициентов сильнонеравновесной системы.