2.4  Граничные условия и уравнение Лиувилля для НСО

            Рассмотрим неравновесную систему, состояние которой на достаточно больших временах описывается набором макроскопических переменных   бP_n с^t. Как мы уже неоднократно отмечали, это означает, что только эти величины являются измеримыми в этой системе и что сделанное предположение не нарушает общности рассмотрения. Чаще всего набор величин P_n- это набор гидродинамических квазиинтегралов движения, таких, как энергия, дрейфовый импульс, число частиц и т.д. Однако в качестве величин P_n могут выступать и более мелкоструктурные переменные, например, числа заполнения квантовых состояний.

Будем предполагать, что в момент времени t₀, который для удобства будет отнесен на отрицательную бесконечность (конечно, имеется в виду физичечкая бесконечность, т.е. времена значительно большие, нежели некоторое характерное для данной системы время размешивания, за которое вымирают не существенные для дальнейшей эволюции корреляции), приготовлен квазиравновесный ансамбль систем, описываемый квазиравновесным распределением `r(t).

Сформулируем начальное условие для неравновесного статистического оператора r(t). Будем предполагать, что в момент времени t₀ равновесный и квазиравновесный статистический операторы совпадают.

Сформулируем теперь условие, позволяющее записать неравновесный статистический оператор в виде некоторого функционала от квазиравновесного распределения. Мы уже отмечали, что квазиравновесный статистический оператор `r(t) не удовлетворяет уравнению Лиувилля и под действием оператора эволюции будет трансформироваться в отличие от неравновесного распределения r(t), которое является интегралом движения.

Будем считать, что если приготовить квазиравновесное распределение, а затем предоставить системе возможность эволюционировать, то квазиравновесное распределение `r(t) через некоторое время, порядка времени размешивания, трансформируется в неравновесное распределение r(t).

На языке математики это последнее условие и сформулированное выше граничное условие для НСО с учетом введенных ранее определений (41-43) можно записать в виде

 

lim t1® -Ґ exp(it1L) r   (t+t1,0) =  lim t1® -Ґ exp(it1L)r(t+t1,0).

(85)

 Уравнение (85) не только позволяет выразить НСО r(t) через квазиравновесное распределение `r(t), но и вносит необратимость в поведение величины r(t). Действительно, достаточно в этом уравнении устремить t₁ к +Ґ, чтобы теория описывала не возрастание, а убывание энтропии в системе. Причина этого понятна. В уравнении (85) квазиравновесное распределение, сформированное в момент времени t₀ = -Ґ, в ходе эволюции трансформируется в неравновесное распределение при t > t₀. Иначе говоря, направление спонтанно текущего процесса задано и меньшему значению времени соответствует более упорядоченное состояние. Если положить t₀ = +Ґ, то система с течением времени будет переходить из менее упорядоченного в более упорядоченное состояние, что и соответствует уменьшению энтропии с течением времени. Применяя теорему Абеля, согласно которой  

lim t® -Ґ f(t) =  lim e® 0 e 0  у х -Ґ exp(et)f(t)dt,

(86)

 если этот предел существует, перепишем уравнение (85) в следующем виде:  

lim e® 0 e 0  у х -Ґ exp(et1) r (t+t1,t1)dt1 =  lim e® 0 e 0  у х -Ґ exp(et1)r(t+t1,t1)dt1.

(87)

 Уравнение (87) допускает интересную интерпретацию. По существу, формула (87) утверждает, что сглаженные (усредненные) по достаточно большому промежутку времени статистические операторы r(t+t₁,t₁) и `r (t+t₁,t₁) равны между собой. Часто сглаживание, определяемое формулой (87), называют взятием инвариантной части. Очевидно, что r(t+t₁,t₁) = r(t), поэтому  

lim e® 0 e 0  у х -Ґ exp(et1)r(t+t1,t1)dt1 = r(t).

(88)

 Тогда из уравнений (87), (88) следует, что в ходе эволюции квазиравновесное распределение трансформируется в неравновесное распределение. В этом, собственно, и состоит физический смысл уравнения (87).

Интегрируя правую часть уравнения (87) по частям, получаем  

e у х  0  -Ґ d t1 exp(et1)exp(iLt1) r (t+t1,0) =    = r(t,0)-  lim t1®-Ґ exp(et1)r(t+t1,t1)-    - у х  0  -Ґ dt1exp(et1)exp(iLt1) ж з и  ¶ ¶t1 +iL  ц ч ш  r(t+t1,0).   (89)

 Потребуем, чтобы последний интеграл в формуле (89) обращался в нуль. Это требование выполняется автоматически, если r(t,0) является интегралом движения. В действительности, как мы выясним чуть позже, r(t,0) не является интегралом уравнения Лиувилля в строгом смысле этого слова, но то выражение для r(t,0), которое мы получим, обеспечивает равенство нулю интеграла  

у х  0  -Ґ dt1exp(et1)exp(iLt1) ж з и  ¶ ¶t1 +iL  ц ч ш  r(t+t1,0) = 0.    (90)

 Далее, lim_t1®-Ґexp(et₁)r(t+t₁,t₁) = 0, поскольку величина e в этой формуле является конечной и должна стремиться к нулю после выполнения термодинамического предела и вычисления средних. Поэтому выражение (89) по существу является определением неравновесного статистического оператора:  

r(t,0) = e у х  0  -Ґ d t1 exp(et1)exp(iLt1) r (t+t1,0).

(91)

 Найдем теперь уравнение движения, которому удовлетворяет НСО (91). Для этого продифференцируем уравнение (91) по времени t:  

¶r(t) ¶t = e у х  0  -Ґ dt1 exp(et1)exp(iLt1) d dt r (t+t1,0) =    = e exp(et1)exp(iLt1) r (t+t1,0)|0-Ґ    -e   r(t,0)  - i L r(t).   (92)

 Учитывая, что при t ® -Ґ expet₁ ® 0, получаем уравнение Лиувилля, содержащее бесконечно малый источник в правой части:  

¶r(t,0) ¶t +iLr(t,0) = -e(r(t,0)- r (t,0)).   (93)

 Необходимо отметить, что равенство нулю выражения (90) выполняется, в чем легко убедиться, если вспомнить формулу (87).

Следует сказать несколько слов о смысле бесконечно малых источников в правой части уравнения движения НСО (93). Как известно, уравнение Лиувилля (30). является обратимым во времени уравнением. В то же самое время мы хорошо знаем, что в реальных системах имеется спонтанное нарушение симметрии динамических уравнений относительно операции обращения времени. Таким образом, в исправленных с учетом второго закона термодинамики динамических уравнениях должно быть снято вырождение состояний, связанное с симметрией относительно операции обращения времени.

Более последовательно интерпретировать возникновение источников в правой части уравнения (93) в духе идеологии квазисредних Н.Н. Боголюбова. В кратком изложении суть этой идеологии состоит в том, что вырождение состояний может радикальным образом сказаться на вычислении средних. Поэтому если состояние системы вырождено, то необходимо ввести некий дополнительный член в гамильтониан системы, заменив, например, H®H+eV , где e-параметр, который после вычисления средних необходимо устремить к нулю, а V-некоторый оператор, снимающий вырождение системы. Средние, в которых после их вычисления параметр, снимающий вырождение системы, необходимо стремить к нулю, Н.Н. Боголюбов назвал квазисредними.

Очевидно, что с этих позиций все средние, которые вычисляются при использовании метода НСО, являются квазисредними, а член -e(r(t,0)-`r(t,0)) , снимающий вырождение уравнения Лиувилля относительно операции обращения времени, в некотором идеализированном виде учитывает контакт системы с термостатом, приводящий к релаксации неравновесного распределения, если систему предоставить самой себе. Тогда величина e- может быть интерпретирована как обратное время релаксации неравновесного распределения к квазиравновесному.