2.5  Линейные релаксационные уравнения в методе НСО

        Практическое решение задач с использованием метода НСО начнем с наиболее простого случая, когда слабонеравновесное состояние системы можно описать в рамках гидродинамического подхода набором средних значений термодинамических координат бP_n с^t или набором сопряженных им термодинамических сил F_n(t) (70).
       Рассмотрим для такой системы задачу определения спектра гидродинамических возбуждений. Иначе говоря, поставим задачу определения времен затухания связанных флуктуаций средних значений dбP_n с^t = бP_n с^t -бP_n с^t₀, где бP_n с^t₀ = SP{P_nr₀}, r₀-равновесное распределение Гиббса. Поскольку неравновесность является слабой, естественно предположить, что система уравнений, описывающая связанную релаксацию отклонений dбP_n с^t, должна быть линейной.
        Для построения линейных релаксационных уравнений относительно величин dбP_n с^t необходимо получить линейные разложения статистических операторов `r(t,0)),    r(t,0)).

              Произведем вначале разложение квазиравновесного статистического оператора `r(t,0)). Для упрощения записи примем следующее соглашение: величины P, бP с^t, F(t) будем понимать как вектор-столбцы с компонентами P_n, бP_n с^t, F_n(t) соответственно. Тогда квазиравновесное распределение (61) можно записать в виде  

  Производя разложение  оператора энтропии S(t,0), очевидно имеем  

  Величины, отмеченные индексом "0" внизу, относятся к равновесной системе.

      Для того чтобы найти приращение функционала df(t), необходимо произвести разложение операторной экспоненты в последнем из равенств выражения (95) по малому параметру P⁺dF(t).
         Используя формулу (78) для разложения операторной экспоненты и учитывая, что под знаком шпура операторные экспоненты можно циклически переставить, получаем  

  Подставляя результат (96) во второе равенство выражения (95), получаем  

         Пользуясь этим представлением, выражение (94) для квазиравновесного распределения можно записать в виде  

            Производя вновь разложение операторной экспоненты (98) с использованием формулы  (78), получаем  

          Произведем теперь аналогичное разложение неравновесного статистического оператора r(t,0). Интегрируя это уравнение по частям, получаем  

               Подставим теперь в уравнение (100) полученный ранее результат для разложения квазиравновесного распределения (99). В итоге, выполняя простые преобразования, получаем  

&nbs         Выражение (101) позволяет решить поставленную задачу и получить систему линейных релаксационных уравнений для флуктуаций термодинамических параметров dбP_n с^t. Для этого необходимо лишь воспользоваться условием (45):

  Однако более удобная и красивая запись этих уравнений получается, если перейти к фурье- представлению. Определим фурье- трансформы величин dбP_n с^t,    dr(t) = r(t)-r₀,    d r(t) = `r(t)- r₀, dF(t) следующими соотношениями:  

    тогда, используя очевидное соотношение

   из первой части равенства сразу получаем важный результат:  

  Далее, используя определения dr(t) и d`r(t), получаем 

                  Если в этом выражении провести интегрирование по t₁, тогда вместо (105) получается простое выражение для dr(w), удобное для практических приложений: 

                В этом выражении оператор iL, стоящий в знаменателе, понимается как некоторый бесконечный ряд.
        Теперь можно построить линейные релаксационные уравнения. Из общих соображений ясно, что во временном представлении такие уравнения при учете запаздывания должны иметь вид 

  где T(t-t₁)- некоторое ядро. Аналогичные уравнения можно записать и для отклонений dF(t).
          Уравнения типа (107) легко получить из условия 

  Подставляя полученные ранее результаты для dr(w) и d`r(w), имеем 

  Вводя для сокращения записи корреляционные функции 

  получаем уравнение для отклонений термодинамических сил dF(w):

             Необходимо напомнить, что уравнение (110)-т матричное и величина dF(w) является вектор-столбцом. Для дальнейшего анализа удобно ввести так называемую транспортную матрицу  

 Тогда система линейных релаксационных уравнений принимает простой вид 

            Совершенно аналогичное уравнение можно получить и для величин dбPс^w. Для этого необходимо, пользуясь уравнением dбPс^w = -(P,P⁺)dF(w)-т см. формулу (104), выразить dF(w) через dбPс^w и подставить этот результат в уравнение (111). Тогда дисперсионное уравнение для dбPс^w будет иметь вид  

            Записанные выше уравнения (112) и (113) позволяют решить задачу о связанной релаксации гидродинамических возбуждений в слабонеравновесной системе. Поскольку система уравнений (112) [или (113)] является однородной, то спектр элементарных возбуждений ищется из условия равенства нулю детерминанта системы: 

  Естественно, более правильным при решении такой задачи является переход к нормальным координатам. Нормальные координаты вводятся таким образом, чтобы в новых переменных транспортная матрица была диагональной.

           Многочисленные примеры рассмотрения коллективных гидродинамических возбуждений в многочастичных системах приведены в монографии Д. Форстера [12]. По этой причине здесь мы не будем обсуждать конкретные системы, а ограничимся лишь общим рассмотрением, пригодным для любых систем.
Определим матричную функцию Грина релаксационных уравнений (113) , (112) сотношениями 
  

 
          Явное определение функций Грина `G(w) через корреляционные функции (P,P<sup>+</sup>)<sup>w</sup> и (P,P<sup>+</sup>) может быть легко получено, если воспользоваться определением для `T(w) (111). Выполняя интегрирование по частям в числителе формулы (111), получаем 
  

  
Подставляя этот результат в выражение (115), получаем 
  

          Из определения (115) следует, что введенные функции Грина (117), (118) являются действительно функциями Грина релаксационных уравнений в строгом смысле этого слова, а их полюса совпадают со спектром нормальных мод системы.

          Теперь можно подвести некоторые итоги и наметить дальнейшие шаги решения поставленной задачи определения спектра гидродинамических возбуждений в системе, состояние которой определяется набором динамических параметров P_n.

        Полученные выше результаты решают скорее формальную задачу, поскольку явное вычисление полюсов функций Грина (117), (118) представляет собой достаточно сложную самостоятельную проблему.

         Обычно для определения полюсов функции Грина используются либо метод массового оператора [9, 13], либо методы, основанные на диаграммной технике. Следует отметить, что использование диаграммной техники для вычисления функций Грина, входящих в кинетические коэффициенты, приводит, на наш взгляд, к неоправданному усложнению теории. Кроме того, ясно, что все результаты, которые можно получить с помощью диаграммной техники, можно получить и с помощью метода массового оператора, в то время как обратное утверждение является неверным.

Здесь мы продемонстрируем другой метод анализа функций Грина, который известен как метод Мори [8].

        Объединение метода НСО для построения статистического оператора и обобщенных релаксационных уравнений с методом проекционных операторов Мори для вывода уравнений движения корреляционных функций или уравнений движения операторов динамических величин позволяет говорить о создании нового метода решения задач физической кинетики, основанного на последовательном использовании идеологии проекционных операторов.