3.2  Постановка задачи. Граничное условие для НСО

       Будем считать, что до включения измерительного поля система уже находилась в неравновесном состоянии, которое описывалось НСО r⁰(t,0). В отличиe от предыдущей главы, в этом разделе мы воспользуемся альтернативной формой записи НСО:

         Использованные при записи формулы (197) обозначения совпадают с обозначениями предыдущей главы. По-прежнему оператор P⁺ обозначает вектор-столбец базисных операторов, а F(t)-вектор-строку сопряженных им термодинамических сил.

       Возможность записи НСО в форме (197) связана с тем, что можно легко переформулировать схему построения НСО, изложенную в предыдущей главе. Действительно, если вместо граничного условия (85) записать аналогичные условия для lnr⁰(t,0)

то, повторяя выкладки, которые привели нас от (85) к (), как раз и получаем запись НСО в форме (197). В этой главе мы ввели другое обозначение для квазинеравновесного распределения r_q(t,0), поскольку черта сверху здесь означает временное сглаживание - см. формулу (197).

Действительно, применяя теорему Абеля (86), вместо (198) получаем

      Выполняя интегрирование по частям в правой части уравнения (199) и принимая, что lnr⁰(t,0) удовлетворяет уравнению Лиувилля в том смысле, что

       Обращает на себя внимание тот факт, что операция временного сглаживания (197), примененная к величине lnr⁰(t,0), оставляет ее без изменения. Это означает, что эта операция обладает свойствами оператора проектирования. Если принять условие (200), то по существу возможность представления НСО в альтернативной форме (197) уже доказана и

      Осталось доказать, что уравнение (200) является справедливым. Дифференцируя уравнение (202), находим уравнение движения для
lnr⁰(t,0) :

       Обращает на себя внимание тот факт, что в этом варианте метода НСО уравнению (203) с источниками в правой части удовлетворяет не НСО
r⁰(t,0), a его логарифм lnr⁰(t,0).

         Далее, совершенно очевидно, что условие (200) выполняется автоматически, если принять во внимание уравнение движения (203) и граничные условия (199). Этим исчерпывается доказательство возможности представления НСО в форме (197)

В этой главе мы полагаем, что неравновесное распределение r⁰(t,0) уже известно, и не рассматриваем вопрос о нахождении величин F(t) и средних значений базисных операторов P⁺. Способ нахождения этих величин обсуждался в последнем разделе предыдущей главы.

           Пусть теперь на систему, неравновесное состояние которой задается распределением (197), действует дополнительное механическое возмущение H _F(t) = -A⁺ F(t), где A⁺-некоторый оператор, F(t)-напряженность поля внешних сил, реакцию на воздействие которых нужно определить.

            Под воздействием этого возмущения в системе возникает новое неравновесное состояние, которое уже не может быть в общем случае описано в терминах старого базисного набора операторов P⁺, и для его описания требуется расширить этот набор, добавив в него новые операторы M⁺ и новые термодинамические параметры f(t).

         Сформулируем граничное условие, которому удовлетворяет статистический оператор r(t,0), описывающий новое неравновесное состояние системы, при t® -Ґ.

          Ясно, что нельзя просто перенести на этот случай граничное условие (85), сформулированное в предыдущей главе, поскольку в пределе при t® -Ґ неравновесное распределение r(t,0) должно перейти тоже в неравновесное распределение r⁰(t,0), а не в квазиравновесное, как это было ранее.

Для формулировки подходящего условия рассмотрим свободную релаксацию распределения r(t,0) при выключении внешнего воздействия F(t) в некоторый момент t.

       При выключении внешнего воздействия термические возмущения, которые описываются функциями f(t), не обращаются сразу в нуль, а медленно меняются с некоторым характерным временем релаксации t. Рассматривая M⁺f(t) как некоторое внутреннее поле, которое действует на систему, запишем уравнение, которому будет удовлетворять lnr(t,0) при t® -Ґ:

Это уравнение сразу следует из формулы (203), если принять, что внутреннее поле, которое безусловно есть, действует как поправка к гамильтониану. Это предположение не является очевидным, и к его обоснованию мы вернемся несколько позже.

Пользуясь методикой, изложенной в главе 2, уравнение (204) для логарифма НСО можно преобразовать в интегральное уравнение, итерируя которое по малому параметру M⁺f(t), в линейном приближении получаем

При записи выражения (205) мы учли, что по предположению функции f(t) являются медленно изменяющимися функциями времени t, и поэтому пренебрегли зависимостью ее от t₁.

Запишем теперь интересующее нас граничное условие в виде

где величина

в дальнейшей теории играет роль квазиравновесного распределения. Поскольку нас интересуют лишь линейные по параметру M⁺f(t) члены, то записанное выше выражение для распределения `(r)₍t,0) можно разложить в ряд по этому параметру, ограничившись линейным приближением. В итоге получается выражение, которое мы и будем использовать:

Следует обратить внимание на то, что распределение (207) не является квазиравновесным распределением, и похожее обозначение `(r(t,0)) не должно вводить в заблуждение.

Результат (207) можно получить значительно проще. Мы выбрали столь длинный путь лишь для того, чтобы иметь возможность познакомить читателя с альтернативным вариантом метода НСО.

Получим теперь результат (207) в рамках метода НСО, развитого в предыдущей главе. Естественно, при таком изложении неизбежны некоторые повторения, но надеемся, что и они будут полезны для читателя.

Рассмотрим неравновесную систему с распределением

где

Если на систему действует внешнее поле, задаваемое поправкой к гамильтониану H _F(t) = -A⁺ F(t), то в системе сформируется новое неравновесное состояние, которое описывается расширенным набором базисных операторов. Пусть при этом в число базисных операторов добавляются операторы M⁺, а к термодинамическим силам F(t) добавятся новые силы f(t). Будем считать, что новое распределение задается оператором r(t,0).

Встает вопрос, как найти вид НСО r(t,0). Метод, развитый в главе 2, как это уже отмечалось ранее, на этот случай непосредственно не обобщается, поскольку при выключении внешнего измерительного поля неравновесное распределение останется (хотя и несколько видоизменится), так как в системе есть другие возмущения, определяющие исходное неравновесное состояние.

          Мы можем воспользоваться лишь общей методологией метода НСО для вывода распределения r(t,0). Для этого нам необходимо правильно записать аналог выражения (85 ), задающего граничное условие для НСО.

       Для получения такого граничного условия рассмотрим эволюцию системы после выключения в момент времени t = -Ґ внешнего поля, отклик на которое мы ищем. Обозначим статистическое распределение системы, возникающее после выключения поля, величиной `(r(t,0)). Будем считать, что уравнение, которому удовлетворяет распределение `(r(t,0)), имеет вид

      Если произвести линеаризацию уравнения (208) по малому параметру
M⁺f(t) и записать формальное решение (более подробно эта процедура формального решения описана в работе [13]), то получаем

        что полностью совпадает с выражением (207). Как и раньше, функция f(t) считается медленно меняющейся по сравнению с операторным ядром
[ M⁺,r⁰(t+е₁,0)], и поэтому мы пренебрегли зависимостью величины f(t+t₁) от t₁

         Рассмотрим, какие есть основания для записи уравнения (208). Мы ищем такое распределение `(r(t,0)), из которого в результате эволюции с полным гамильтонианом H+ H <sub>F</sub>(t) = H-A<sup>+</sup> F(t) возникает неравновесное распределение r(t,0), содержащее новые параметры M<sup>+</sup>f(t). По этой причине `(r(t,0)) удовлетворяет уравнению, в которое добавлено внутреннее поле M⁺f(t). Таким образом, получающееся решение для `(r(t,0)) будет функционалом полного набора неравновесных параметров.

           Поскольку конечный физический результат не должен зависеть от вида конкретной функциональной зависимости `(r(t,0)) от параметров P<sup>+</sup> и M<sup>+</sup>, мы выбрали `(r(t,0)) так, чтобы выполнялся естественным образом переход к обычной теории отклика, с одной стороны, а с другой стороны - распределение `(r(t,0)) обладало нужными для построения нового НСО свойствами.

          Развиваемый ниже подход линейного отклика исходно неравновесной системы на слабое измерительное поле можно построить другим способом, более формально, вообще не решая проблемы построения НСО r(t,0) (это будет продемонстрировано несколько позже).

После того как мы обсудили граничное условие для НСО - см.(206), запишем уравнение Лиувилля, которому будет удовлетворять это распределение:

Вывод этого уравнения совершенно аналогичен выводу уравнения (93). Учитывая, что

воспользуемся интегральным уравнением для НСО (148) и ограничимся при решении этого уравнения линейными членами по малой поправке H _F(t), описывающей взаимодействие системы с внешним полем. В результате получаем простое выражение

           В следующем разделе мы, используя выражение (210), построим выражение для линейного отклика неравновесной системы и выразим обобщенную восприимчивость системы через неравновесные корреляционные функции, вычисление которых производится с помощью статистического оператора, описывающего исходное неравновесное распределение.