2.7  Использование метода проекционных операторов Мори для вычисления электропроводности

         Формальное выражение для электропроводности, известное как формула Кубо [9], [13] может быть получено двумя способами. Во- первых, электропроводность может быть определена как отклик системы на внешнее высокочастотное электрическое поле. При другом способе определения электропроводность связывает между собой флуктуации дрейфового импульса электронной системы и флуктуации внутреннего электрического поля. В нашем случае оба этих подхода приводят к одинаковым результатам, и мы легко можем это продемонстрировать, используя результаты настоящей главы.

       Получим вначале выражение для электропроводности в виде отклика системы на внешнее электрическое поле. Интересующую нас формулу можно было бы получить совсем просто, не привлекая метод НСО, а ограничиваясь теорией линейной реакции Кубо на внешнее механическое возмущение [13]. Однако, имея в виду в дальнейшем рассмотрение более сложного случая -линейной реакции неравновесной системы на слабое измерительное поле, мы используем и для этой простой задачи метод НСО.

         Рассмотрим неравновесную систему, описываемую гамильтонианом H, на которую действует возмущение, задаваемое гамильтонианом H_v. Явный вид этого гамильтониана будет определен позднее. В частности, нас будет интересовать случай, когда возмущение связано со взаимодействием с внешним электрическим или магнитным полем.

Уравнение Лиувилля (93) для НСО можно записать теперь в виде 

 где L_v-оператор Лиувилля, соответствующий части оператора Гамильтона H_v.

          Преобразуем уравнение (141) в эквивалентное ему интегральное уравнение. Вычитая из левой и правой частей уравнения (141) выражение

 запишем его в виде

           Вводя оператор эволюции exp(iLt) с гамильтонианом H и умножая первое из уравнений (142) на множитель exp(et)exp(iLt)), запишем левую часть уравнения (142) в виде полной производной по времени: 

  Полагая, что  

 проинтегрируем уравнение (143) по времени в пределах от -Ґ до t. В результате получаем

           Для вывода этой формулы результат интегрирования уравнения (143) необходимо умножить слева на exp(-et)exp(-iLt)) и сделать замену переменных в интеграле, положив t₁-t ® t₁.

           По существу это и есть искомое интегральное уравнение. Если оператор взаимодействия H_v не фигурирует явно в базисных операторах P_n, что будет предполагаться в дальнейшем, то уравнение (144) допускает простую интерпретацию.

           Поскольку первые два члена под интегралом в формуле (144) зависят от H_v лишь неявно через параметры F_n(t), то они описывают так называемые термические возмущения, в то время как третий член, содержащий явно взаимодействие H_v, описывает механические возмущения.

            Последнее утверждение является очевидным, если рассмотреть случай, когда величины F_n равны своим равновесным значениям, а операторы P_n коммутируют с гамильтонианом. В этом случае выражение (144) совпадает с результатом, который дает теория линейной реакции Кубо [13].

             Уравнение (144) можно записать в другой форме, которая и будет в дальнейшем использоваться. Для этого необходимо заметить, что 

 Этот результат получается простым интегрированием по частям в первом интеграле (145), поскольку

 Вводя обозначение

 запишем интегральное уравнение для НСО в окончательном виде:

             Распределение r⁰(t,0) получается из квазиравновесного распределения `(r)(t,0) в результате эволюции с гамильтонианом H свободной от возмущения системы, в то время как распределение r(t)-в результате эволюции с полным гамильтонианом H+H_v. Следует отметить, что распределения не являются на самом деле независимыми, поскольку r⁰(t,0) зависит от точных значений функций F_n(t), которые должны определяться из обобщенных кинетических уравнений ((47))

Теперь можно вернуться к задаче вычисления электропроводности.

       Будем считать, что до включения электрического поля система находилась в равновесии и r⁰(t,0) = r₀, равновесному распределению Гиббса. Кроме того, ограничимся линейным приближением по электрическому полю при вычислении отклика системы и заменим в интеграле (148) r(t,0) на r₀. Далее, в качестве оператора H_v возьмем оператор взаимодействия электронов с однородным внешним электрическим полем E(t): 

           Суммирование по j ведется по координатам X_j всех электронов, индекс a означает проекцию на оси декартовой системы координат. Найдем среднее значение электрического тока J^a(t) в системе, вычислив среднее: 

 P_j- импульс j- го электрона. Выполняя преобразование Фурье уравнения (150) и учитывая феноменологическое определение тензора электропроводности J^a(w) = s_ab(w)E^b(w), получаем хорошо известное выражение для электропроводности [13]: 

          Прямое вычисление электропроводности в конечном порядке теории возмущения не представляется возможным, поскольку в этом случае получается физически неразумный результат. Действительно, проводимость системы на нулевой частоте должна быть обратно пропорциональна эффективной константе взаимодействия электронов с рассеивателями, что получается только в том случае, если отсуммировать бесконечный ряд ( например, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию).

По этой причине для вычисления электропроводности по формуле (151) обычно используют метод массового оператора [13].

           Покажем, что точно такой же результат получается и при использовании метода операторов проектирования Мори. Преобразуем вначале выражение (151), используя формулу Кубо[13]. 

 b-обратная температура в энергетических единицах. Подставляя результат (152) в выражение (151), получаем выражение для проводимости, записанное с использованием скалярного произведения Мори:

           Для того чтобы воспользоваться результатами (138), (139) при вычислении компонент тензора электропроводности, выберем в качестве базисных операторов P_n, фигурирующих в формуле (138), декартовые компоненты оператора суммарного импульса электронов P^a и введем вместо частоты комплексную переменную z соотношением e-iw = z. В результате вместо (153) получаем 

 Для получения второго из равенств в формуле (154) в интеграле сделана замена переменных t₁® -t₁.

           Теперь, используя выражение (138) для корреляционной функции Q(z) и переходя обратно к переменной w, можем сразу записать выражение для электропроводности в виде 

         Для того чтобы сравнить результат (155) с выражением, которое получается при использовании метода массового оператора [], необходимо заметить, что Q(0) = 1,   W = 0. Первое из этих равенств просто следует из определения корреляционной функции Q(t) (125). Для доказательства второго рассмотрим вначале корреляционную функцию (P^a,P^b) в числителе формулы (155). 

 где n-концентрация электронов. Повторяя аналогичные выкладки для матрицы частот iW с учетом её определения - см. формулу (130), получаем

 Наконец, для функции памяти, которая в данном случае является не чем иным, как обратным временем релаксации полного импульса электронной системы, получаем

              Для сравнения приведем выражение для обратного времени релаксации, полученное с использованием метода функций Грина [13]: 

             Из приведенных формул (157), (158) хорошо видно, что все их различие состоит в отсутствии операторов проектирования в последнем выражении. Естественно, встаёт вопрос: какое из приведенных выражений является правильным? Вопрос является весьма актуальным, поскольку формулы типа (158) для времен релаксации достаточно широко распространены в литературе. Более того, хорошо известно, что эти формулы часто дают результаты, неплохо совпадающие с экспериментом.

            Можно утверждать, что выражение (158) для времени релаксации полного импульса электронной системы является правильным лишь в борновском приближении. В этом легко можно убедиться. Во-первых, если оператор d/dt (P^a) пропорционален взаимодействию, то в борновском приближении формулы (157) и (158) просто совпадают. Действительно, в этом случае операторы проектирования в формуле (157) могут быть опущены, так как их учет привел бы к удержанию членов четвертого порядка по взаимодействию и выше (доказать это мы предлагаем читателю самостоятельно).

            Можно показать, что в постоянном электрическом поле при w = 0 точное значение обратного времени релаксации, даваемое формулой (158), точно равно нулю, поэтому эта формула является, строго говоря, неверной.

          Действительно, рассмотрим диагональные компоненты тензора электропроводности на нулевой частоте: 

 С другой стороны,

            Произведем дважды интегрирование по частям в формуле (160) для 1/t. Интегрируя первый раз, получаем 

 Поскольку корреляционная функция

  интегрируя второй раз по частям, получаем 

             Поскольку все корреляционные функции, стоящие в правой части равенства (162), конечны, а умножаются они на параметры e или e², которые после выполнения термодинамического предельного перехода n®Ґ,    V®Ґ;    ⁿ/_V® const (n-число частиц в системе, V-объем) должны быть устремлены к нулю, мы видим, что из формулы (162) следует равенство нулю и обратного времени релаксации.

           Физическая причина полученного результата достаточно очевидна. Из результатов раздела 1.4 следует, что необратимое поведение не появляется само собой в результате каких-либо математических ухищрений. Возникновение необратимости связано с тем, что реализуются не все возможные состояния, допускаемые динамическими уравнениями, а лишь ограниченный набор состояний, приводящий к возникновению необратимого во времени поведения.

          Конечно, возникает несколько вопросов. Во-первых, почему правильный результат получается при использовании операторов проектирования и не получается при использовании стандартного метода функций Грина? Этот вопрос становится более актуальным, если мы напомним, что при выводе уравнения движения для корреляционной функции Q(t) (138) выполнялись, по существу, только тождественные преобразования.

        Во-вторых, почему недостаточно того факта, что НСО удовлетворяет необратимому во времени уравнению? Не должны ли отсюда сразу получаться правильные выражения для кинетических коэффициентов?

           Проще ответить на второй вопрос. Необратимое во времени уравнение для НСО обеспечивает всего лишь правильную структуру кинетических коэффициентов или обобщенных кинетических уравнений - и не более того.

          Правильное вычисление кинетических коэффициентов связано с проблемой вычисления равновесных или неравновесных (с ними мы столкнемся позже) корреляционных функций. Это совсем другая, хотя и близкая по духу задача.

          Что касается первого вопроса, то по существу это тот же основной вопрос, который мы уже неоднократно обсуждали с разных сторон: как ввести те динамические переменные, на языке которых можно описать необратимое поведение?

          Метод операторов проектирования позволяет выделить в уравнении движения оператора полного импульса члены, описывающие прецессию, и члены, описывающие затухание [см. уравнение 133a]. Оказывается, этого достаточно для получения правильного результата. Можно строго доказать, что при определении обратного времени релаксации в форме (158) член G, описывающий затухание, учитывается дважды с разными знаками и поэтому точно компенсируется. Краткую схему доказательства этого любопытного факта мы приведем в конце следующего раздела.