3.3  Обобщенная восприимчивость неравновесной системы

           Определим отклик неравновесной системы как изменение среднего значения базисного оператора M:

где r⁰(t,0)-статистическое распределение, описывающее исходный неравновесный процесс.

          Если подставить в формулу (211) выражение (207) для `r(t,0), то отклик может быть записан в виде

          При записи этого выражения мы ввели новое "скалярное" произведение операторов по неравновесному состоянию системы, которое является обобщением скалярного произведения Мори и переходит в него для случая равновесного распределения:

          В определении (213) B и M-некоторые операторы. Формула (212) определяет отклик системы на внутреннее поле f(t), а нас интересует отклик на внешнее приложенное поле F(t). Для того чтобы найти интересующий нас отклик, необходимо выразить f(t) через F(t). Связь этих функций легко может быть получена из условия

которому, в соответствии с общими идеями метода НСО, удовлетворяет набор базисных операторов M.

           Интегрируя выражение r¹(t,0) по частям с учетом результатов (207), (210), найдем уравнение для Dr(t,0) = r(t,0)-`r(t,0):

             Для продолжения исследования удобно перейти от временного к частотному представлению. Мы будем считать, что функция F(t) изменяется по гармоническому закону. Поскольку нас интересует линейное приближение, то можно считать, что и f(t) будут изменяться также по гармоническому закону. Вводя обозначения

и

из условия SP{ MDr(t)} = 0, с учетом (214), получаем связь между f(w) и F(w):

Появившаяся в выражении (215) корреляционная функция, зависящая от частоты, имеет вид

        При выводе уравнения связи (215) мы преобразовали последний член уравнения (214) с помощью тождества

которое легко доказывается, если считать r⁰(t,0) точным интегралом уравнения Лиувилля.

         Полученные результаты (212) и (215) позволяют получить выражение для изменения среднего значения базисного оператора M:

и записать его через компоненты обобщенной восприимчивости:

        Выражение c _{M M}(t,0) представляет собой статический адмиттанс и выражается через неравновесную корреляционную функцию

            Совершенно аналогично можно записать и выражение для изменения среднего значения некоторого другого оператора B, не принадлежащего к набору базисных операторов. В этом случае, определяя

и используя уравнения (214) и (207), имеем

           Подставляя в последнюю формулу значение f(w), найденное из выражения (215), получаем

а обобщенная восприимчивость c_BA(t,w) в этом случае может быть записана в форме

При записи формулы (223) мы воспользовались соотношением

которое легко проверяется интегрированием левой части этого тождества по частям.

           Интересно, что, несмотря на особую роль операторов M в излагаемой теории, выражение для динамической восприимчивости c _MA(t,w) легко получается из формулы (223), если в последней просто заменить оператор B на оператор M.

            Завершая настоящий раздел, необходимо сравнить результаты (219), (223) с известными результатами, которые получаются для отклика равновесных систем.

            Покажем, что скалярное произведение операторов, определенное нами соотношением (213), переходит в случае равновесного распределения в обычное скалярное произведение Мори (120). Чтобы в этом убедиться, достаточно преобразовать (213), воспользовавшись тождеством Кубо, и затем произвести интегрирование по частям. Тогда

где b- обратная температура. Последнее соотношение справедливо, если операторы B и M удовлетворяют принципу ослабления корреляций:

Это требование, по\д видимому, не является слишком жестким ограничением на природу операторных величин B и M для систем с "перемешиванием", в которых только и возможны релаксационные явления.

           Итак, мы показали, что скалярное произведение (213) переходит в обычное скалярное произведение операторов Мори, если неравновесное распределение r⁰(t,0) заменить на равновесное r₀.

            Для того чтобы доказать, что выражения (219), (223) имеют правильный предельный переход к случаю линейного отклика равновесных систем, необходимо вывести формулы линейного отклика заново, пользуясь стандартной методикой НСО, рассмотренной в главе 2. Поскольку это не представляет никаких проблем и является прекрасным упражнением, мы оставим эту тему для практических занятий, сославшись лишь на то, что получающийся результат для изотермического отклика равновесной системы имеет точно такую же структуру, как и формула (219), отличаясь лишь заменой скалярного произведения (213) на скалярное произведение (120).