3.5  Электропроводность сильнонеравновесной системы

         Рассмотрим пример использования развитой методики вычисления линейного отклика неравновесной системы для частного случая вычисления электропроводности. В этом случае в общих формулах раздела 3.3 следует сделать замены:

Использованные здесь обозначения совпадают с аналогичными обозначениями раздела 2.7.

        Для упрощения записи, где это возможно, не будем выписывать индексы тензорных величин, поскольку при конкретных вычислениях мы все равно будем рассматривать случай изотропного закона дисперсии и изотропного рассеяния электронов, при котором отличны от нуля лишь диагональные компоненты тензора электропроводности. Используя уравнение (219), находим

      При записи выражения (232) мы считаем, что величины P,  P⁺ представляют собой вектор- строку и вектор- столбец, составленные из декартовых компонент оператора полного импульса электронов. Кроме того, при выводе этого соотношения мы воспользовались снова теоремой Абеля и принципом ослабления корреляций, полагая

если операторы P, X⁺ удовлетворяют принципу ослабления корреляций. Как и в случае магнитной восприимчивости, транспортную матрицу T(w) можно записать в виде T(w) = iW+S(w), причем

        Формулы, приведенные выше, все еще являются достаточно общими и справедливы для любого стационарного неравновесного распределения.

       Для дальнейшего изложения мы должны конкретизировать выбор исходного неравновесного распределения. Будем считать, что это распределение характеризуется обратными температурами b_k, b_s, b_p подсистем кристалла К, S, Р (обозначения подсистем К, S см. в разделе 2.10; P означает подсистему длинноволновых фононов) и задается квазиравновесным распределением следующего вида:

где a⁺_{p s}, a _ps-операторы рождения и уничтожения электронов в состоянии с импульсом p и проекцией спина s = ±¹/₂ на ось z; b⁺_q,l,  b_q,l-операторы рождения и уничтожения фононов с волновым вектором  q и поляризацией l;  (^h/_2p)W_q,l-энергия фонона; g-фактор спектроскопического расщепления; m_b-магнетон Бора; H-напряженность классического магнитного поля.

      Будем анализировать электропроводность в борновском приближении. Это означает, что при вычислении обратного времени релаксации полного импульса электронной системы (или функции памяти `S нужно ограничиться лишь членами второго порядка по взаимодействию с рассеивателями (фононами, например). По этой причине неравновесный статистический оператор r⁰(t,0) можно заменить на квазиравновесное распределение (235), при записи которого мы предусмотрительно опустили гамильтониан электрон-фононного взаимодействия.

     Сделаем еще одно упрощение и ограничимся вычислением статической электропроводности. Это приближение в действительности хорошо работает при условии   1/( t) >> w, что в обычных материалах хорошо выполняется вплоть до частот оптического диапазона.

         С учетом сделанных замечаний выражение (232) для статического случая можно записать в виде

где H_ep-гамильтониан электрон-фононного взаимодействия. При выводе формулы (236) мы учли, что

Последнее соотношение легко доказать, если вспомнить определение корреляционной функции бP^a, d/dt P^bс . Действительно, воспользовавшись соотношением (213), получаем

       В последнем выражении первый член равен нулю из- за того, что компоненты оператора полного импульса коммутируют между собой. Второй равен нулю- в силу того, что любые два оператора, взятые в разные моменты времени, коммутируют между собой, если разность времен стремится к бесконечности (предполагается, что операторы удовлетворяют принципу ослабления корреляций).

         Как следует из выражения (236), вычисление неравновесной электропроводности свелось к вычислению обратного времени релаксации. Будем считать, что сопротивление определяется рассеянием электронов на фононах. Не конкретизируя излишне механизм электрон-фононного взаимодействия, запишем гамильтониан H_ep в представлении вторичного квантования по электронным переменным в следующем виде:

где матричные элементы U ^ql _{p^ў p} определены соотношением

pс- нормированная система собственных функций электронов проводимости, C _{q  l}- константа электрон- фононной связи.  Используя этот гамильтониан взаимодействия, найдем величину d/dt  P^a_(p) в формуле (236):

Наконец, подставляя последнее выражение в формулу (236) для обратного времени релаксации, получаем

         В этой формуле f^ў_p^ў s означает производную по энергии неравновесной функции распределения электронов, z- неравновесный химический потенциал.

          Выражение (238) для обратного времени релаксации неравновесных электронов находится в полном соответствии с результатом, который получается для частоты релаксации импульса неравновесных электронов в методе кинетического уравнения [13].

               Завершая эту главу, необходимо отметить, что полученные здесь результаты можно найти, как это уже отмечалось, другим способом, совершенно не интересуясь тем, как возникло новое неравновесное распределение при включении дополнительного измерительного поля. По существу, это просто обобщения формальной теории линейного отклика Кубо (краткое изложение метода Кубо можно найти в работе [13]) на случай отклика неравновесных систем.

      Пусть на неравновесную систему, которая описывается гамильтонианом H, действует дополнительное слабое поле H_F(t) = - AF(t). Запишем уравнение Лиувилля, которому удовлетворяет новое неравновесное распределение r(t,0):

Здесь r⁰(t,0)- исходное неравновесное распределение системы, iL,  iL_F(t)- операторы Лиувилля, соответствующие гамильтонианам H  и  H_F(t).

          Естественным начальным условием для распределения r(t) можно считать его совпадение с исходным неравновесным распределением r⁰(t,0) в момент времени t = -Ґ, когда было включено внешнее поле. В этом случае формула для неравновесного адмиттанса в полном соответствии с теорией Кубо будет выражаться через коммутаторную функцию Грина. Например, в случае электропроводности, по аналогии с линейным случаем, получаем

     Эту формулу легко преобразовать к результату (232), полученному нами ранее. Воспользуемся для этого операторным тождеством (217), которое является обобщением тождества Кубо на случай неравновесного распределения и принципом ослабления корреляций. В результате простых вычислений получаем

Если учесть связь функции Грина G(t,w) с транспортной матрицей T(t,w), определенной соотношением (229), то сразу видно, что приведенное выше выражение для неравновесной электропроводности совпадает с полученным ранее результатом (232).