3.4  Оператор проектирования для неравновесных систем. Магнитная восприимчивость

         Рассмотрим применение общих формул теории линейного отклика неравновесных систем (219), (223) для вычисления магнитной восприимчивости.

       Пусть на систему магнитных моментов M действует переменное магнитное поле B(t). Для перехода к этому случаю в общих формулах предыдущего раздела следует произвести замены:

где M-операторный вектор-столбец с компонентами полного магнитного момента электронов, B- вектор-строка, составленная из компонент вектора магнитной индукции внешнего электромагнитного поля. Для простоты пренебрегаем пространственной неоднородностью электромагнитного поля.

        Аналогично определено и произведение M⁺b(t), где внутреннее неравновесное поле b(t) представляет собой индуцированное внешним полем термическое возмущение, связанное с намагниченностью системы m(t) = DбMс_t соотношением

        Определяя динамическую магнитную восприимчивость соотношением

и используя выражение (219) для магнитной восприимчивости, получаем

где мы снова ввели в рассмотрение транспортную матрицу

и статическую магнитную восприимчивость

        Зависимость магнитной восприимчивости от времени t связана с временной зависимостью исходного неравновесного распределения. В задачах, которые реально удается решить таким методом, исходное неравновесное распределение оказывается стационарным и не зависит от времени t. В дальнейшем мы будем считать, что реализуется именно этот случай.

        Введенная формулой (227) транспортная матрица играет в неравновесном случае точно такую же роль, как и в случае отклика равновесной системы. В частности, в режиме свободной релаксации, когда амплитуда внешнего магнитного поля равна нулю, транспортная матрица определяет спектр нормальных мод системы - см. (114). В полной аналогии с равновесным случаем [см. формулы (115)-(118)] можно ввести и неравновесную функцию Грина соотношением

        Таким образом, дальнейшая проблема вычисления магнитной восприимчивости сводится к нахождению транспортной матрицы T(t,w) или функции Грина G(t,w), что в свою очередь, требует применения техники операторов проектирования, пригодной для использования в случае неравновесных систем. Такой оператор проектирования можно построить по аналогии с оператором проектирования Мори (119), (122), просто заменив скалярное произведение операторов Мори скалярным произведением, определенным соотношением (213). В итоге получаем:

        В определении (230) индекс t у оператора проектирования указывает на то, что такой оператор в общем случае будет зависеть от времени, поскольку от времени зависит исходное неравновесное распределение. В дальнейшем мы будем считать, что исходное неравновесное распределение является стационарным, и опустим нижний индекс t как у оператора проектирования, так и у корреляционных функций.

        Поскольку введенное скалярное произведение (213) при переходе к равновесию превращается в скалярное произведение Мори, то и проекционные операторы (230) в равновесном случае переходят в проекционные операторы (119) . Поэтому наша задача существенно упрощается и фактически сводится к повторению выкладок, которые мы проделали в разделе 2.8. В них просто следует заменить оператор P⁺ на M⁺ и равновесное скалярное произведение операторов - его неравновесным аналогом. В результате снова получаем

где f = (1- P ) (d/dt M).

        Заканчивая рассмотрение проблемы вычисления магнитной восприимчивости неравновесной системы, мы можем подвести некоторые итоги.

        Структура компонент тензора магнитной восприимчивости в неравновесном случае осталась, по существу, без изменений. Изменилось лишь определение скалярного произведения двух операторов. Так, для поперечной парамагнитной восприимчивости электронного газа из приведенных выше формул снова получаются выражения, имеющие точно такую же структуру, как равновесная восприимчивость, определяемая соотношениями (180), (181), отличаясь от них лишь видом скалярного произведения операторов и некоторыми обозначениями.

        Вычисление неравновесных корреляционных функций представляет определенный интерес, и мы займемся их анализом на примере неравновесной электропроводности, который будет рассматриваться ниже, поскольку в этом случае имеются хорошо известные результаты, полученные методом кинетического уравнения [13], что позволяет произвести детальное сравнение результатов двух различных методик.