4.3  Основное кинетическое уравнение для квазиравновесного распределения и проекционный оператор Робертсона

         Квазиравновесное распределение r_q(t,0), которое мы подробно рассмотрели в главе 2, представляет собой как раз некоторую часть НСО, с одной стороны, а с другой - квазиравновесное распределение позволяет вычислить средние значения базисных операторов, поскольку, в силу одного из основных положений метода НСО, средние значения базисных операторов, вычисленные с использованием истинного неравновесного распределения и квазиравновесного распределения, равны между собой - см. выражение (45).

           Таким образом, если нам удастся построить замкнутое уравнение для определения квазиравновесного распределения и найти практический способ решения этого уравнения, позволяющий восстановить вид r_q(t,0) в явном виде, то это сразу позволит выразить кинетические коэффициенты через корреляционные функции операторов динамических величин, вычисленных с использованием квазиравновесного распределения.

         Здесь уместно еще раз напомнить различие в программах построения кинетической теории, основанной на методиках кинетического уравнения, статистического оператора и основного кинетического уравнения.

           В случае кинетического уравнения основной проблемой является нахождение неравновесной функции распределения, т.е. построение решения уравнения Больцмана. Если такая функция найдена, то нахождение кинетических коэффициентов сводится к квадратурам.

         При квантово-статистическом подходе в методе Кубо, например, формальное решение уравнения Лиувилля получается относительно просто, и задача вычисления кинетических коэффициентов трансформируется в проблему правильного вычисления корреляционных функций.

       Эта задача может быть решена корректно лишь в том случае, если заменить уравнения движения для операторов динамических величин на уравнения движения типа уравнений Ланжевена, для вывода которых используется методика операторов проектирования.  Следует особо подчеркнуть, что операторы проектирования используются здесь для построения правильных динамических уравнений равновесной системы.

        В методе НСО мы имеем в каком- то смысле промежуточную ситуацию. С одной стороны, НСО строится лишь из квазиинтегралов движения, т.е. медленно изменяющихся динамических переменных в результате операции временного усреднения (91). Эта процедура замены точного статистического оператора НСО (91) сама является операцией проектирования (выделением некоторой части статистического оператора). Использование такого подхода позволяет получить замкнутые уравнения для нахождения неравновесных термодинамических параметров системы F_n(t) - см., например, раздел 2.10.

          На то, что здесь используется некоторое огрубленное описание, возникшее в результате временного усреднения, указывает тот факт, что число неравновесных параметров оказалось конечным (при точном динамическом описании это число должно быть порядка числа частиц в системе).

         С другой стороны, в этом подходе динамические уравнения, которым удовлетворяют базисные операторы, являются стандартными уравнениями динамики Ньютона или Шредингера. По этой причине все равно необходимо привлекать идеологию операторов проектирования для построения правильных динамических уравнений в системах с размешиванием.

          Наконец, возможен подход, при котором строится уравнение движения для квазиравновесного распределения сразу с использованием методики операторов проектирования.  Рассмотрим вывод этого уравнения.  Будем исходить из уравнения Лиувилля для НСО ( ):

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения оператор

В результате выполнения этой операции получаем

         Рассмотрим производную по времени от оператора r_q(t,0). Как уже отмечалось в главе 2, квазиравновесное распределение является функционалом от наблюдаемых средних значений бP_nс^t, взятых в один и тот же момент времени t. Поэтому имеем

          Выражение (256) отличается от (2.7) только другим обозначением для квазиравновесного распределения, но для удобства читателя мы снова выписали эту формулу. Поскольку

то, используя уравнение движения для НСО (253), запишем последнее равенство в форме

В целях упрощения записи удобно ввести проекционный оператор Робертсона Г_q, который мы определим соотношением

Используя оператор проектирования Робертсона, запишем уравнение (256) в виде

        Добавим и вычтем в правой части последней формулы член Г_q(t)iLr_q(t), что позволяет записать его в виде, который мы и будем использовать:

           Подставим этот результат в последний член правой части уравнения (255). Получаем уравнение для квазиравновесного распределения, которое еще не является замкнутым уравнением для r_q(t), так как содержит НСО r(t):

Преобразуем уравнение (260) к виду, который допускает интегрирование:

         Оператор Лиувилля в уравнении (261) зависит от времени. По этой причине для интегрирования уравнения (261) необходимо ввести обобщенный оператор эволюции U(t^ў,t), описывающий эволюцию произвольной динамической величины от момента времени t до момента t^ў в том случае, когда гамильтониан системы зависит от времени.

Определим обобщенный оператор эволюции уравнением

        Естественным начальным условием для этого уравнения является равенство оператора эволюции единице, если временные аргументы совпадают. В этом случае решение уравнения движения для оператора эволюции дает простой результат:

            В этом выражении интеграл понимается как сумма операторов, взятых в разные моменты времени, а экспонента - как соответствующий степенной ряд. Поскольку предполагается, что операторы, взятые в разные моменты времени, могут не коммутировать между собой, то необходимо дополнительно задать порядок следования операторов. Для этих целей используется символ T, обозначающий временное упорядочение операторов, при котором временной аргумент операторов возрастает справа налево.   Используя обобщенный оператор эволюции (262), запишем решение уравнения (261)

             Наконец, для того, чтобы получить замкнутое уравнение движения для квазиравновесного статистического оператора r_q(t), подставим последний результат в уравнение (259). В результате получаем искомое основное кинетическое уравнение, содержащее только квазиравновесный статистический оператор:

        Прежде чем завершить раздел, посвященный выводу основного кинетического уравнения для квазиравновесного распределения, необходимо наметить хотя бы некоторые пути использования результата (264).

          Конечно, это уравнение можно пытаться интегрировать, но сразу видно, что за исключением самых простых случаев эти попытки обречены на неудачу. Значительно проще записать систему обобщенных кинетических уравнений для базисных динамических переменных и затем эту систему решить. По крайней мере, для стационарного случая такая программа не представляется слишком сложной.

          В следующем разделе мы продемонстрируем применение методики основного кинетического уравнения для нахождения электропроводности неравновесной системы.