2.8  Связь линейного варианта метода НСО и метода Мори

Рассмотрим теперь вопрос о том, как можно развить дальше подход, основанный на использовании транспортной матрицы T(w) и функций Грина G(w) (110), (116), введенных ранее. Нашей задачей будет получение вместо обобщенных уравнений движения для средних (107) в методе НСО уравнений движения в форме Мори (133).

Сравнивая выражения (107) и (133), можно заметить, что они будут совпадать по структуре , если удастся транспортную матрицу T(w) представить в виде T(w) = iW+S(w) . Различие в значении нижнего предела в интеграле не является существенным, поскольку оно связано с выбором начального момента времени.

Для доказательства возможности такого представления выполним ряд тождественных преобразований, по существу повторяющих вывод уравнения (133) в методе Мори.

Для сокращения записи введем обозначение

P+(E) = 1 iL-iE P+,       iE = iw-e,

и рассмотрим тождество

i(L-E)P+(E) = P+.

(163)

Подействуем на левую и правую части этого тождества поочередно операторами проектирования P и (1- P). Действуя оператором P с учетом тождества P⁺(E) = PP⁺(E)+ (1- P)P⁺(E), имеем

(-iE+ PiL) PP+(E)+ PiL(1- P)P+(E) = P+.

(164)

При выводе этого равенства учтено, что PP⁺ = P⁺.

Действуя оператором (1- P), находим

(-iE+(1- P)iL)(1- P)P+(E) = -(1- P)iL PP+(E).

(165)

Из уравнения (165) найдем величину (1- P)P⁺(E). Умножая слева уравнение (165) на величину (-iE+(1- P)iL)^-1, получаем

(1- P)P+(E) = - 1 -iE+(1- P)iL (1- P)iL PP+(E).

Подставляя этот результат в уравнение (164), находим

(-iE+ PiL) PP+(E)- - PiL 1 -iE+(1- P)iL (1- P)iLP+(E) = P+. (166)

Рассмотрим теперь действие оператора проектирования P на величину
P⁺(E). Исходя из определения оператора проектирования Мори (120), (122), имеем

PP+(E) = P+ 1 (P,P+) (P,P+(E)) = P+ G   (E);       (P,P+(E)) = у х 0 -Ґ dt1exp{(e-iw) t1}× × у х 1 0 dtSP{P,r0texp(iLt1)P+r01-t}.       (167)

В последней части равенства (167) использовано определение функции Грина (117). Далее,

PiLP+ = P+i W   ;    i W   = (P,P+)-1(P, . P   +   ).

Умножая уравнение (166) справа скалярно (в смысле скалярного произведения Мори) на P, получаем

(P,P+)(-iE+i W   ) G   (E)- -(P, PiL 1 -iE+(1- P)iL (1- P)iLP+) G   (E) = (P,P+).

(168)

Используя определение проекционного оператора, преобразуем второй член в левой части уравнения к виду

(P,P+) 1 (P,P+) (P,iL 1 -iE+(1- P)iL (1- P)iLP+) G   (E).

Сокращая в левой и правой частях одинаковый сомножитель (P,P⁺), получаем

(-iE+i W   + S   (E)) G   (E) = 1. (169) S   (E) = 1 (P,P+) ( . P   , 1 -iE+(1- P)iL (1- P)iLP+).

Если теперь учесть, что, в силу определения оператора проектирования,

( PA,(1- P)B) = 0

для любых операторов A и B, то выражение для функции памяти может быть записано в виде, совпадающем с определением Мори (140):

S   (E) = 1 (P,P+) (f, 1 -iE+(1- P)iL f+);        f = (1- P) . P   .

(170)

Различие определений для `S(E) (170) и (134) не является существенным и связано просто с некоторым различием обозначений.

Из выражения (169) и уравнений (115) для транспортной матрицы видно, что действительно, транспортную матрицу можно представить в виде `T(w) = i`(W) + `Sw) .

Теперь вернемся к проблеме правильной записи частот релаксации и в общих чертах наметим путь доказательства того, что выражения для обратного времени релаксации типа (158) при строгом рассмотрении являются неверными, хотя и очень широко используются в литературе для вычисления частот релаксации в борновском случае. Определим новый проекционный оператор P(E) соотношением

P(E)A = (A,P+)E 1 (P,P+)E P, P(E)A+ = P+ 1 (P,P+)E (P,A+)E; (171) (A,B+)E = у х 0 -Ґ dt1exp{(e-iw) t1}× × у х 1 0 dtSP{A,r0texp(iLt1)B+r01-t}. (172)

С учетом определений (172), (111), а также равенств P(E)(d/dt P) = -T(E)P,    P(E)(d/dt P)⁺ = P⁺`T(E) можно доказать, что выражение для `S(E) может быть записано в виде

S   (E) = 1 (P,P+) ([1- P(E)] . P   ,[1- P(E)] . P   +   )E. (173)

Доказательство соотношения (173) мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Полученные результаты позволяют несколько иначе записать выражение для обратного времени релаксации (158) на нулевой частоте. Используя определения (172), (156), получаем

Sў(e) = ( . P   , . P   +   )e 1 (P,P+) = ( P(e) . P   , P(e) . P   +   )e 1 (P,P+) + +([1- P(e)] . P   ,[1- P(e)] . P   +   )e 1 (P,P+) .             (174)

Здесь P(e) - проекционный оператор P(E) при w = 0.

Связь последнего выражения с обратным временем релаксации очевидна. Достаточно просто учесть, что P, P⁺ являются однокомпонентными величинами и соответствуют компонентам оператора импульса P^a. Однокомпонентность величин P, P⁺ позволяет считать, что входящие в определение S(e) корреляционные функции не являются больше матрицами и поэтому перестановочны.

Вначале покажем, что

( P(e) . P   , P(e) . P   +   )e 1 (P,P+) = -(iW+G).

Для этого можно снова воспользоваться соотношениями P(e)(d/dt P) = -T(e)P,    P(e)(d/dt P)⁺ = P⁺`T(e) и использовать формулы (115).

С другой стороны, как следует из соотношения (173), последнее слагаемое в правой части (174) есть просто G. Складывая эти два результата, находим, что

Sў(e) = ( . P   , . P   +   )e 1 (P,P+) = -iW.

Иначе говоря, формулы такого типа не содержат затухания вообще. Этот же результат мы получили и в предыдущем разделе прямым интегрированием для частного случая, когда базисными операторами являлись компоненты полного импульса электронной сист