4.4  Использование основного кинетического уравнения для вычисления кинетических коэффициентов

          Рассмотрим вывод уравнения баланса импульса неравновесных электронов, основанный на использовании интегродифференциального уравнения (264) для r_q(t). Пусть имеется система неравновесных электронов проводимости, которая может быть описана обратной температурой кинетических степеней свободы электронов b_k, неравновесным химическим потенциалом z и дрейфовой скоростью V.

         Для упрощения задачи будем считать, что неравновесная температура электронной системы и неравновесный химический потенциал уже известны и требуется найти только дрейфовую скорость. Такая ситуация может возникнуть, когда неравновесное состояние системы создается одним полем, а требуется найти отклик на другое слабое измерительное поле.

        Впрочем, последнее условие не является принципиальным. Можно рассмотреть и полную постановку задачи, когда, например, приложенное к системе сильное электрическое поле приводит и к разогреву электронной системы, и к появлению отличных от нуля компонент дрейфового импульса. В этом случае пришлось бы записать три уравнения баланса - энергии, импульса и числа частиц.

       Для получения уравнения баланса импульса электронной системы умножим левую и правую части уравнения (264) на P^a, компоненту оператора импульса, и вычислим шпур от левой и правой частей полученного уравнения. Выполняя эти преобразования, имеем

             При выводе этого уравнения мы предположили, что гамильтониан системы не зависит от времени и неравновесное состояние системы является стационарным. В этом случае квазиравновесное распределение также не будет зависеть от времени, и в правой части уравнения мы этот факт уже учли. Кроме того, если гамильтониан системы от времени не зависит ( приложенное электрическое поле, которое вызывает дрейф электронов, является постоянным), то оператор эволюции существенно упрощается:

Уравнение (265) является искомым уравнением баланса импульса неравновесной системы электронов, но это уравнение записано в общей форме и для конкретных приложений нуждается в некотором уточнении.

Во- первых, будем считать, что гамильтониан системы H может быть записан в виде

где H_e,    H_p - гамильтонианы невзаимодействующих электронной и фононной подсистем кристалла; H_ep - гамильтониан взаимодействия электронов с фононами; H_F - гамильтониан взаимодействия электронов с постоянным однородным электрическим полем. Явный вид этих гамильтонианов уже обсуждался в главах 2- 3, и здесь нет большой необходимости возвращаться к этому снова.  Во- вторых, оператор энтропии системы запишем в виде

где n - оператор числа частиц, f - функционал Масье- Планка, который определяется из условия

Или

     Вернемся к уравнению баланса импульса (265) и постараемся существенно упростить его отдельные члены. Выражение, стоящее в левой части уравнения, просто равно нулю, поскольку мы рассматриваем стационарные условия и статистический оператор r_q от времени не зависит.    Рассмотрим внеинтегральный член, стоящий в правой части уравнения (265). Пользуясь определением проекционного оператора Робертсона (257), получаем

      Здесь суммирование производится по всему набору базисных операторов, входящих в определение оператора энтропии (кроме V^a, в нашем случае это еще операторы H_e и n. В силу свойств симметрии корреляционных функций, отличный от нуля вклад в сумму в выражении (266) даст только тот член, в котором в качестве базисного оператора взят оператор P^a, термодинамически сопряженный дрейфовой скорости V^a. Действительно, в соответствии с результатами, полученными в главе 2 [см. формулы 84)), (98)],

где значок d, как и ранее, означает функциональную производную, а DP_m = P_m-SP{P_mr_q}.   Подставляя этот результат в выражение (266) и производя сокращение одинаковых членов в числителе и знаменателе, получаем

где

       Оператор P^a коммутирует с гамильтонианом H₀. Далее, поскольку по построению статистический оператор r_q не содержит взаимодействие, то SP{[P^a,H_ep]r_q } = 0, так как гамильтониан H_ep не имеет диагональных матричных элементов. Таким образом, единственным отличным от нуля будет вклад от коммутатора операторов P^a и H_F. Учитывая явный вид оператора H_F = -eе_i X^b_iE^b, где X^b_i - координата i- го электрона, а суммирование проводится по всем электронам, окончательно получаем

          Рассмотрим теперь интегральный член в правой части уравнения (265). Поскольку по своему смыслу интегральный член описывает столкновения электронов с рассеивателями и соответствует на языке кинетического уравнения интегралу столкновений, то, используя обычное для кинетической теории приближение, согласно которому влиянием электрического поля на процессы столкновения можно пренебречь, мы опустим слагаемое H_F в гамильтониане системы при рассмотрении интеграла столкновений. Рассмотрим вначале выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (265) . Выполняя проектирование с помощью оператора проектирования Г_q, стоящего первым в фигурной скобке, получаем

Учитывая, что

и обозначая интегральный член в правой части (265) буквой I, получаем

        Для выполнения дальнейших преобразований заметим, что уравнение баланса импульса имеет простой смысл: сила, действующая на электроны проводимости со стороны внешнего электрического поля, равна скорости изменения импульса электронов за счет их столкновения с рассеивателями. По этой причине интеграл столкновения в выражении (265) должен быть линеаризован по дрейфовой скорости V^a. Для выполнения линеаризации необходимо воспользоваться разложением квазиравновесного статистического оператора. Используя разложение (98), для нашего случая имеем

Подставляя этот результат в интеграл столкновений (271), получаем

В этом выражении P^b(t) = r_q^0  tP^b r_q^0  1-t.   Для дальнейшего преобразования выражения (272) удобно перейти к другому представлению, заменив проекционный оператор Робертсона более удобным проекционным оператором, являющимся обобщением проекционного оператора Мори на случай неравновесных систем. Рассмотрим корреляционную функцию

В этом выражении A, B и C - некоторые произвольные операторы, смысл обозначения A(t) определен выше.

Выполняя проектирование с помощью оператора Робертсона (257) и учитывая соотношение (267), рассматриваемую корреляционную функцию можно записать в виде

В выражении (273) мы ввели новый проекционный оператор P_t, определяемый соотношением

         Формула (273) позволяет убедиться в том, что в корреляционных функциях рассматриваемого вида проекционный оператор Робертсона Г_q можно заменить проекционным оператором P_t, являющимся обобщением оператора проектирования Мори на случай неравновесных систем. Этим мы и воспользуемся в дальнейшем для преобразования интеграла столкновений.

         Выполним интегрирование в выражении (272) по времени t₁. В результате получается представление интеграла столкновений в виде корреляционной функции от резольвенты:

Рассмотрим оператор

входящий в выражение под знаком шпура в формуле (275). Можно проверить,что для этого оператора выполняется тождество

Если учесть соотношение (273), то можно легко доказать следующие два равенства:

Отсюда, в силу произвольности оператора B, тождество (276) можно переписать, заменив проекционный оператор Робертсона Г_q новым проекционным оператором P_t:

      Последнее выражение можно записать в другой форме, если перенести в левую часть первый член правой части, и разрешить полученное уравнение относительно оператора M(t)r_q. В итоге получаем

Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если оператор M(t)r_q находится под знаком шпура в корреляционных функциях- см. формулу (273).  Учитывая исходное определение оператора M(t)r_q, подставим полученный результат (277) в интеграл столкновений, записанный в форме (275). В результате получаем выражение, очень напоминающее по структуре выражение для функции памяти (170):

        В этом выражении, как и ранее, использовано определение скалярного  произведения операторов A и B:

     Для того чтобы продвинуться дальше, вспомним, что при нашем определении оператора Гамильтона и оператора энтропии оператор P^a(t) коммутирует с гамильтонианом H₀, и если опрератор Лиувилля iL = iL₀+iL_p разбить на две части, где iL₀ - оператор Лиувилля, соответствующий гамильтониану H₀, а iL_p - гамильтониану H_ep, то выполняется равенство iL₀P^b(t)r_q = 0, и в первом борновском приближении интеграл столкновений (278) можно записать в виде

В выражении (279) уже набран второй порядок по взаимодействию H_ep и поэтому операторы проектирования опущены (учет их приводит к необходимости удерживать члены четвертых и еще более высоких степеней по гамильтониану электрон- фононного взаимодействия). Вернемся вновь к уравнению баланса импульса (265) и установим связь величины I в выражении (279) с феноменологическими характеристиками. Исходя из феноменологических соотношений, уравнение баланса импульса в стационарном случае может быть записано в виде

      В этом выражении t - время релаксации импульса неравновесных электронов. Учитывая соотношения (265), (279) и (269), а также записанное выше определение времени релаксации t, очевидно имеем

      Выражение (280) определяет время релаксации импульса неравновесных электронов. Покажем, что полученный выше результат совпадает с формулой (238), выведенной нами в главе 3.

         Дальнейшие вычисления достаточно громоздки, и мы приведем лишь некоторые промежуточные результаты, а читателю предлагается самостоятельно проделать необходимые преобразования. Из определения зависимости оператора P^b(t) = r_q^t P^br_q^-t от времени t следует, что для нашего случая, когда [P^b,r_q] = 0, справедливо равенство P^b(t) = P^b , и интегрирование по t в выражении (280) дает просто единицу. Тогда, записывая член iL_pP^br_q в явном виде, вместо (280) получаем

Перейдем в этом выражении к представлению вторичного квантования по электронным переменным. Пользуясь результатами, приведенными в главе 3, получаем

        В выражении (282) мы не выделили спиновые квантовые числа у операторов и надеемся, что это не приведет к недоразумениям, поскольку все матричные элементы, входящие в формулу (282), диагональны по спиновым переменным. Таким образом, каждый из индексов суммирования в формуле означает суммирование по орбитальным и спиновым квантовым числам.

            В качестве системы собственных функций при переходе к представлению вторичного квантования выбраны, как обычно, плоские волны. Угловые скобки означают среднее по электронным состояниям, угловые скобки бс_p - усреднение по состояниям рассеивателей.

Рассмотрим квантово- статистическое среднее по электронным переменным. Учитывая теорему Вика [18] и тот факт, что матричные элементы оператора электрон- фононного взаимодействия не имеют диагональных матричных элементов, получаем для первого среднего

и, аналогично, для второго -

         При выводе этих соотношений учтено, что неравновесная функция распределения электронов f_nd_n n^ў = бa⁺_n a_n^ўс. Усреднение производится по квазинеравновесному распределению, в котором опущена дрейфовая скорость электронов (уравнение баланса импульса записано в линейном по дрейфовой скорости приближении).

        Рассмотрим операторы рождения и уничтожения электронов, зависящие от времени. Используя определения гйзенберговской зависимости операторов a⁺ и a от времени t и мнимого времени i(^h/_2p)b, получаем

Аналогичные соотношения можно записать и для операторов рождения и уничтожения фононов:

Подставляя эти результаты в выражение (282), а также учитывая выражения для гамильтониана H_ep и операторав (d/dt P^)a_p (см. главу 3), получаем

Сделаем во втором члене, пропорциональном |U^-q l_n^ўnu|², замену индексов суммирования n®n^ў n¬n^ў. Тогда, учитывая, что

легко обнаружить, что квадратные скобки в выражении (285) являются одинаковыми, если сделать еще и замену переменной интегрирования: t₁ ® -t₁. После такой замены интегрирование по времени в этом члене будет производиться в пределах от нуля до бесконечности. Наконец, объединяя два интеграла в пределах от -Ґ до 0 и от 0 до Ґ в один с пределами интегрирования от -Ґ до +Ґ и выполняя интегрирование по времени, находим

             Если в последней формуле воспользоваться законом сохранения импульса в каждом элементарном акте рассеяния, согласно которому P^a_n^ў = P^a_n+(^h/_2p) q^a, и учесть, что при интегрировании по углам обращаются в нуль все члены, содержащие нечетное число степеней векторов P^a,    q^a, то мы сразу получаем уже известное выражение для обратного времени релаксации неравновесной системы(238).

          Таким образом, мы показали, что использование основного кинетического уравнения для квазиравновесного распределения позволяет эффективно решать задачи, связанные с вычислением кинетических коэффициентов сильнонеравновесных систем, основываясь на квантово-статистическом подходе.